Aplicaciones del teorema de Lagrange ( o del valor medio ) a la aproximación del valor de una función en un punto

ENUNCIADO. Aproximar $\sqrt{124}$ a partir de la aplicación del teorema de Lagrange a la función $f(x)=\sqrt{x}$

SOLUCIÓN. Observemos que $11^2=121 \prec 124$ y que $(11+1)^2=12^2=144 \succ 124$, y teniendo en cuenta que la función $f(x)=\sqrt{x}$ ( tomado el valor absoluto de la raíz cuadrada ) es continua en $[11,12] \subset \mathbb{R}$ y derivable en el intervalo $(11,12)$, estamos en condiciones de aplicar el teorema del valor medio ( o de Lagrange ); así que existe un punto $x_P$, comprendido entre $11$ y $12$, tal que $$\dfrac{f(124)-f(121)}{124-121}=f'(x_P)$$ y como $f'(x)=\dfrac{1}{2\,\sqrt{x}}$, podemos escribir $$\sqrt{124}=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x_P}}+11 \quad \quad (1)$$ Teniendo en cuenta ahora que $11^2\prec x_P\prec 124 \prec 12^2$, se tiene que $11 \prec \sqrt{x_P} \prec 12$ con lo cual $\dfrac{1}{12}\prec \dfrac{1}{\sqrt{x_P}}\prec \dfrac{1}{11}$. En consecuencia, de (1), ha de cumplirse que $$\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{12}+11 \prec \sqrt{124} \prec \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{11}+11$$ esto es $$\dfrac{89}{8}\prec \sqrt{124}\prec \dfrac{245}{22}$$
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El teorema de Lagrange y la desigualdad de Bernoulli

El teorema de Lagrange ( o del valor medio ) sirve para demostrar desigualdades entre funciones, por ejemplo la desigualdad de Bernouilli, que dice lo siguiente: para todo $x \succ 0$ y para cualquier número real $k \succ 1$ se cumple la llamda desigualdad de Bernoulli: $$(1+x)^k \succ 1 +k\,x$$ Procedamos a demostrarla:

La función $f(x)=(1+x)^k$ es continua en el intervalo $[0,x] \subset \mathbb{R}$ y derivable en el intervalo $(0,x)$, con lo cual se cumple la tesis del teorema de Lagrange: existe un $x_P$, $0\prec x_P \prec x$, tal que $$\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(x_P)$$ Como $f(0)=(1+0)^k=1$, tenemos que $$(1+x)^k-1=x\,f'(x_P)$$ Y teniendo en cuenta que $f'(x)=k\,(1+x)^{k-1}$ podemos escribir $$(1+x)^k-1=k\,x\,(1+x_P)^{k-1}$$ esto es $$(1+x)^k=1+k\,x\,(1+x_P)^{k-1}$$ Ahora bien, $(1+x_P) \succ 1$ luego $(1+x_P)^{k-1}\succ 1$ y, en consecuencia, $$(1+x)^k\succ 1+k\,x$$
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Aplicaciones del teorema de Lagrange ( o del valor medio )

ENUNCIADO. Dada la función $f(x)=3x^2$, encuéntrese un punto en el que la recta tangente a la curva en dicho punto sea paralela a la cuerda que une los puntos $A(0,0)$ y $B(4,48)$

SOLUCIÓN. Como la función $f$ es continua y derivable para cualquier valor $x$ de $\mathbb{R}$, desde luego lo es también para todos los números reales comprendidos entre $0$ y $4$, ambos incluidos, luego estamos en condiciones de aplicar el teorema del valor medio o de Lagrange. Existe pues un punto $P$ de abscisa $x_P$ tal que $$\dfrac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}=f'(x_P)$$ por lo que, con los datos del problema, podemos escribir $$\dfrac{48-0}{4-0}=f'(x_P)$$ y teniendo en cuenta que $f'(x)=6x$, tenemos que $$\dfrac{48-0}{4-0}=6\,x_p \Rightarrow x_P=2$$ luego $y_P=f(x_P)=f(2)=3\cdot 2^2=12$, por lo que el punto pedido es $P(2,12)$
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