Segundo teorema fundamental del cálculo ( conocido como regla de Newton-Leibniz y, también, como regla de Barrow )
Sea una función primitiva, F(x), de f(x), y siendo f(x) \ge 0 \quad \forall x \in \left[a,b \right], el valor de la integral definida, entre las abscisas x=a i x=b ( a los que llamamos límites de integración), es igual a F(b)-F(a), es decir \displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x)\,dx = F(b)-F(a)
Demostración:
Supongamos que F(x) és una funció integral ( primitiva ) de f(x) (Primer Teorema Fundamental del Cálculo ). Supongamos ahora que G(x) es otra primitiva de f(x), entonces tendrá que cumplirse que F(x)=G(x)+C \quad (1) donde C es una constante.
En consecuencia F(a)=G(a)+C \quad (2)
Por otra parte, y de acuerdo con la definición de función primitiva de f,
F(x)=\int_{a}^{x} \, f(t) \, dt
es obvio que F(a)=0, con lo cual, de (2), deducimos que C=-G(a)
Sustituyendo el valor de C en la expresión (1), encontramos F(x)=G(x)-G(a) y, según el significado de función primitiva, vemos que el valor de la integral definida entre los límites de integración a (límite inferior) i b (límite superior) es igual a
\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x) \, dx = G(b)-G(a)=F(b)-C - ( F(a) - C ) = F(b) - F(a)
valor que, en la literatura, suele expresarse de la forma
\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x) \, dx =\left[ F(x) \right]_{a}^{b}
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