Integrales definida de una función par y de una función impar en dominios simétricos

Si una función $f(x)$ es impar, esto es si para todo $x \in \text{Dom}\,f$ se cumple que $f(-x)=-f(x)$ ( la gráfica de $f$ es simétrica con respecto del origen de coordenadas ) y los límites de integración son opuestos, entonces $\displaystyle \int_{-a}^{a}\,f(x)\,dx=0$

Ejemplo. $$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\,\sin\,x\,dx=0$$ En efecto $$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\,\sin\,x\,dx=-\cos\,\pi/2-(-\cos\,(-\pi/2))=0-0=0$$

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Si una función $f(x)$ es par, esto es si para todo $x \in \text{Dom}\,f$ se cumple que $f(-x)=f(x)$ ( la gráfica de $f$ es simétrica por reflexión con respecto del eje de abscisas ) y los límites de integración son opuestos, entonces $\displaystyle \int_{-a}^{a}\,f(x)\,dx=2\,\int_{0}^{a}\,f(x)\,dx=2\,\int_{-a}^{0}\,f(x)\,dx$

Ejemplo. $$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\,\cos\,x\,dx=2\,\int_{0}^{\pi/2}\,\cos\,x\,dx=2\cdot (\sin\,\pi/2-\sin\,0)=2\cdot (1-0)=2$$ En efecto $$\displaystyle \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\,\cos\,x\,dx=\sin\,(\pi/2)-(\sin\,(-\pi/2))=1-(-1)=2$$

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Expresión de una función que no es ni par ni impar como suma de una función par y una función impar

ENUNCIADO. La función $f(x)=|x-1|$ no es par ni es impar. Exprésese dicha función como suma de una función par y una función impar.

SOLUCIÓN. Por otro ejercicio expuesto en este mismo blog, sabemos que podemos expresar $f(x)$ como $p(x)+i(x)$ donde $p(x)=\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))$ e $i(x)=\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))$. Veamos cuáles son, en nuestro caso, las funciones $p(x)$ e $i(x)$:

$p(x)\equiv\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|+|-x-1|)=$
  $=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|+|(-1)\cdot(x+1)|)=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|+|(x+1)|)$

$i(x)\equiv\dfrac{1}{2}\,(f(x)-f(-x))=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|-|-x-1|)=$
  $=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|-|(-1)\cdot(x+1)|)=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|-|(x+1)|)$

Y, en efecto, podemos comprobar que
$p(x)+i(x)=\dfrac{1}{2}\,(|x-1|+|(x+1)|)+\dfrac{1}{2}\,(|x-1|-|(x+1)|)=$
  $=2\cdot \dfrac{1}{2}\,|x-1|=|x-1|=f(x)$

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Expresión de una función cualquiera como suma de una función par y una función impar

ENUNCIADO. Demuéstrese que toda función puede expresarse como suma de una función par y una función impar

SOLUCIÓN. Recordemos que una función $g(x)$ es par si $g(x)=g(-x)$ y es impar si $g(x)=-g(-x)$. Sea $f$ una función cualquiera, entonces:

Podemos escribir una función par de la forma $p(x)=\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))$; en efecto, $p$ es par, pues $p(-x)=\dfrac{1}{2}\,(f(-x)+f(-(-x))=\dfrac{1}{2}\,(f(-x)+f(x))=\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))=p(x)$

También podemos escribir una función impar, de la forma $i(x)=\dfrac{1}{2}\,(f(x)-f(-x))$; en efecto, $i$ es impar, pues $i(-x)=\dfrac{1}{2}\,(f(-x)-f(-(-x))=\dfrac{1}{2}\,(f(-x)-f(x))=-\dfrac{1}{2}\,(f(x)-f(-x))=-i(x)$

Y, sumando $p(x)$ e $i(x)$, obtenemos la función $f$: $$p(x)+i(x)=\dfrac{1}{2}\,(f(x)+f(-x))+\dfrac{1}{2}\,(f(x)-f(-x))=\dfrac{1}{2}\cdot 2 \,f(x)=f(x)$$

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Averiguando si una función dada es par, impar o bien no es ni par ni impar

ENUNCIADO. Considérese la función $f(x)=\left|x-1\right|$. ¿ Es par ? ¿ Es impar ? ¿ Ni una cosa ni otra ?

SOLUCIÓN. Recordemos que una función $g(x)$ es par si $g(-x)=g(x)$ y que es impar si $g(x)=-g(-x)$. La función pedida, $f$, no es impar, pues $f(-x)= \left|-x-1\right|=\left|(-1)\cdot (x+1)\right|=\left|x+1\right|\neq -\left|x-1\right|=-f(x)$; y, desde luego, tampoco es par, pues $f(-x)=\left|x+1\right|\neq \left|x-1\right|=f(x)$. En consecuencia $f$ no es par ni impar. $\square$