Cálculo de una integral definida (un ejemplo). Aplicación de la regla de Barrow

Para calcular, a modo de ejemplo, la integral definida $$\displaystyle \int_a^b\,3^x\,dx\,,\,\text{donde}\,a\lt b$$ necesitamos calcular, en primer lugar, la integral indefinida $$\displaystyle \int\,3^x\,dx$$ esto es, la familida de funciones primitivas $F(x)+C$ (siendo $C$ la constante arbitraria de integración), tales que, por el primer teorema del cálculo integral, cumpla que $\dfrac{d(F(x)+C)}{dx}=f(x)$, siendo $f(x)$ la función del integrando, es decir, $f(x)=3^x$

Veamos, primero, cuál es esa familia de funciones primitivas: $\displaystyle \int\,3^x\,dx\overset{[3=e^{\ln\,3}]}{=} \int\,\left(e^{\ln\,3}\right)^x\,dx=\int\,e^{x\,(\ln\,3)}\,dx \overset{(1)}{=}\int\,e^{x\,(\ln\,3)}\,\dfrac{d(x\,(\ln\,3))}{\ln\,3}=\dfrac{e^{x\,(\ln\,3)}}{\ln\,3} =\dfrac{3^x}{\ln\,3}+C$. Entonces, por el segundo teorema fundamental del cálculo integral (regla de Barrow), y a partir de cualquier función primitiva, por ejemplo $F(x)=\dfrac{3^x}{\ln\,3}$ (tomando, por ejemplo, $C=0$) tenemos que $\displaystyle \int_a^b\,3^x\,dx\overset{(2)}{=}F(b)-F(a)=\dfrac{3^b}{\ln\,3}-\dfrac{3^a}{\ln\,3}=\dfrac{1}{\ln\,3}\left(3^b-3^a\right)$

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Nota (1):
Este paso, en realidad, es un cambio de variable: $u:=x\,(\ln\,3)$ y por tanto $du=\left( x\,(\ln\,3) \right)'\,dx = (\ln\,3)\cdot 1\,dx = (\ln\,3)\,dx \Rightarrow dx=\dfrac{du}{\ln\,3}$, con lo cual $\displaystyle \int\,e^{x\,(\ln\,3)}\,dx = \int\,e^u\,\dfrac{du}{\ln\,3}=\dfrac{1}{\ln\,3}\,e^u+C=\dfrac{1}{\ln\,3}\,e^{(\ln\,3)\,x}+C=\dfrac{3^x}{\ln\,3}+C$

Nota (2):
Otra manera de notar la aplicación de la regla de Barrow es: $\displaystyle \displaystyle \int_a^b\,3^x\,dx=\left[ \dfrac{3^x}{\ln\,3} \right]_{a}^{b}=\dfrac{3^b}{\ln\,3}-\dfrac{3^a}{\ln\,3}=\dfrac{1}{\ln\,3}\left(3^b-3^a\right)$

Nota (3):
Podemos aplicar también la regla de Barrow a partir del cambio de variable (véase (1)) realizado y recalculando los nuevos límites de integración: $\displaystyle \int_{a}^{b}\,3^x\,dx=\int_{a}^{b}\,e^{x\,(\ln\,3)}\,dx\overset{(1)}{=}\int_{a\,\ln\,3}^{b\,\ln\,3}\,e^u\,\dfrac{du}{\ln\,3}=\left( \dfrac{e^{b\,\ln\,3}}{\ln\,3}-\dfrac{e^{a\,\ln\,3}}{\ln\,3}\right)=\dfrac{1}{\ln\,3}\,\left( e^{b\,\ln\,3} - e^{a\,\ln\,3}\right)=\dfrac{1}{\ln\,3}\,\left( 3^b-3^a \right)$

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Cálculo de integrales definidas

Calculemos la integral definida $\displaystyle \int_{6}^{12}\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx$.

Por el primer teorema fundamental del cálculo (TFC1), sabemos que $\displaystyle \int\,f(x)\,dx=F(x)+C$ de tal manera que $(F(x)+C)'=f(x)$. En primer lugar, por tanto, vamos a calcular una función primitiva, $F(x)$, de la familia de primitivas $F(x)+C$ que corresponde a la solución de la integral indefinida $\displaystyle \int\,f(x)\,dx$, donde en este caso concreto que nos ocupa $f(x)=\dfrac{3}{3+2x}$ es la función integrando; y, finalmente aplicaremos el segundo teorema fundamental del cálculo (TFC2), también conocido como regla de Barrow: $\displaystyle \int_{6}^{12}\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx=F(12)-F(6)$, tomando una función cualquiera de la familia de primitivas (eligiendo cualquier valor de la constante de integración $C$).

Cálculo de la familia de primitivas: $I:=\displaystyle \int\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx=\int\,\dfrac{3/3}{3/3+(2/3)\,x}\,dx=\int\,\dfrac{1}{1+(2/3)\,x}\,dx$. Sabemos que $\displaystyle \int\,\dfrac{1}{t}\,dt=\ln\,t+C$, así que, mediante el cambio de variable $t:=1+(2/3)\,x$ se tiene que $dt=\dfrac{2}{3}\,dx$, luego $dx=\dfrac{3}{2}\,dt$, con lo cual $I=\displaystyle \int\,(3/2)\,\dfrac{dt}{t}=\dfrac{3}{2}\,\int\,\dfrac{dt}{t}=\dfrac{3}{2}\,\ln\,t+C$. Y deshaciendo el cambio de variable, $I=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(1+(2/3)\,x)+C$. Una función primitiva es, por ejemplo, $F(x):=\dfrac{3}{2}\,\ln\,(1+(2/3)\,x)$, donde, por comodidad, hemos elegido arbitrariamente el valor cero para la constante de integración (cualquier otro valor de la constante de integración lleva al mismo resultado de la integral definida).

A continuación, según TFC2, llegamos finalmente a: $\displaystyle \int_{6}^{12}\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx=\left[\dfrac{3}{2}\,\ln\,(1+(2/3)\right]_{6}^{12}=\displaystyle \dfrac{3}{2}\,\left( \ln\,(1+\dfrac{2}{3}\cdot 12) - \ln\,(1+\dfrac{2}{3}\cdot 6 \right)=\dfrac{3}{2}\,\left(\ln(9)-\ln(5)\right)=\dfrac{3}{2}\,\ln\,\left(\dfrac{9}{5}\right)$.

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Nota: De una manera más directa, $$\displaystyle \int_{6}^{12}\,\dfrac{3}{3+2x}\,dx=\int_{5}^{9}\,\dfrac{3}{2}\,\dfrac{1}{t}\,dt= \displaystyle \dfrac{3}{2}\,\left[\,\ln\,t\,\right]_{5}^{9}=\dfrac{3}{2}\,\left(\ln(9)-\ln(5)\right)=\dfrac{3}{2}\,\ln\,\dfrac{9}{5}.\, \diamond$$

Ejercicios de integración

ENUNCIADO.
I) Calcular las siguientes integrales indefinidas:
a) $\displaystyle \int \,\dfrac{dx}{x^2+4}$       b) $\displaystyle \int\,x\,e^x\,dx$
II) Calcular la integral definida $\displaystyle \int_{-1}^{1}\,(2x-5)^5\,dx$

SOLUCIÓN.
I.a)
Esta integral es semi inmediata, pues es sabido que $\displaystyle \int \,\dfrac{dx}{x^2+1}=\arctan\,x+C$; así que basta con hacer unos arreglos para calcular la familia de primitivas que corresponde a la función del integrando:
$\displaystyle \int \,\dfrac{dx}{x^2+4}=\dfrac{1}{4}\,\int \,\dfrac{dx}{x^{2}/4+4/4}=\dfrac{1}{4}\,\int \,\dfrac{dx}{(x/2)^2+1}\overset{(1)}{=} \dfrac{1}{4}\,\int \,\dfrac{2\,dt}{t^2+1}=\dfrac{1}{2}\,\int \,\dfrac{dt}{t^2+1}=$
  $=\arctan\,t+C\overset{(2)}{=} \dfrac{1}{2}\,\arctan\,\dfrac{x}{2}+C$

(1) cambio de variable: si $t:=x/2$, $dx=2\,dt$
(2) deshaciendo el cambio de variable

I.b)
La función del integrando, $x\,e^x$, es el producto de dos funciones de distinta naturaleza, por lo que emplearemos el método de integración por partes: $$\int\,u\,dv = u\,v-\int\,v\,du$$ Designando $u:=x$, con lo cual $dx=du$, y, $e^x\,dx=dv$ y por tanto $v=\int\,e^x\,dx=e^x$. Así, podemos escribir $$\displaystyle \int\,x\,e^x\,dx=x\,e^x-\int\,e^x\,dx$$ e integrando fácilmente el segundo término del segundo miembro, encontramos finalmente $$\displaystyle \int\,x\,e^x\,dx=x\,e^x-e^x+C=e^x\,(x-1)+C$$

II) Mediante un sencillo cambio de variable, $t:=2x-5$ ( y por tanto $dx=\dfrac{1}{2}\,dt$ ), teniendo en cuenta la integral indefinida inmediata $\int\,t^n\,dt=\dfrac{1}{n+1}\,t^{n+1}+C$, vemos que una primitiva de $f(x)=(2x-5)^5$ es $F(x)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{6}\,(2x-5)^6$, luego por la regla de Barrow, $\displaystyle \int_{-1}^{1}\,(2x-5)^5\,dx=F(1)-F(-1)=\dfrac{1}{12}\,\left( (2\cdot 1-3)^6-(2\cdot (-1)-3)^6\right)=$
  $=\dfrac{1}{12}\,(1-5^6)=-1302$
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Segundo teorema fundamental del cálculo

Segundo teorema fundamental del cálculo ( conocido como regla de Newton-Leibniz y, también, como regla de Barrow )

Sea una función primitiva, $F(x)$, de $f(x)$, y siendo $f(x) \ge 0 \quad \forall x \in \left[a,b \right]$, el valor de la integral definida, entre las abscisas $x=a$ i $x=b$ ( a los que llamamos límites de integración), es igual a $F(b)-F(a)$, es decir $$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$

Demostración:
Supongamos que $F(x)$ és una funció integral ( primitiva ) de $f(x)$ (Primer Teorema Fundamental del Cálculo ). Supongamos ahora que $G(x)$ es otra primitiva de $f(x)$, entonces tendrá que cumplirse que $$F(x)=G(x)+C \quad (1)$$ donde $C$ es una constante.

En consecuencia $$F(a)=G(a)+C \quad (2)$$

Por otra parte, y de acuerdo con la definición de función primitiva de $f$,

$$F(x)=\int_{a}^{x} \, f(t) \, dt$$

es obvio que $F(a)=0$, con lo cual, de (2), deducimos que $C=-G(a)$

Sustituyendo el valor de $C$ en la expresión (1), encontramos $F(x)=G(x)-G(a)$ y, según el significado de función primitiva, vemos que el valor de la integral definida entre los límites de integración $a$ (límite inferior) i $b$ (límite superior) es igual a

$$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x) \, dx = G(b)-G(a)=F(b)-C - ( F(a) - C ) = F(b) - F(a)$$

valor que, en la literatura, suele expresarse de la forma

$$\displaystyle \int_{a}^{b} \, f(x) \, dx =\left[ F(x) \right]_{a}^{b}$$
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Dada las funciones $y=9-x^2$ y $y=2x+1$ se pide: a) Dibujar las gráficas de las dos funciones, identificando el recinto acotado por ambas. b) Calcular el área de dicho recinto acotado c) Hallar el volumen del cuerpo de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje de abscisas el recinto acotado de la gráfica de $y=9-x^2$ y el propio eje de abscisas.

Enunciado:
Dada las funciones $y=9-x^2$ y $y=2x+1$ se pide:
a) Dibujar las gráficas de las dos funciones, identificando el recinto acotado por ambas.
b) Calcular el área de dicho recinto acotado
c) Hallar el volumen del cuerpo de revolución obtenido al hacer girar alrededor del eje de abscisas el recinto acotado de la gráfica de $y=9-x^2$ y el propio eje de abscisas.

Resolución:

Obtenemos las coordenadas de los puntos de intersección A i B resolviendo el sistema de ecuaciones

$\left. \begin{matrix} 9-x^2=y\\ 2x+1=y\\ \end{matrix}\right\}$

obteniendo como solución

$A(-4,-7)$

$B(2,5)$

El área del recinto acotado és igual a

$\displaystyle \left|\int_{-4}^{2}\,\big( (9-x^2)-(2x+1)\big)\,dx \right| = \ldots = 36 \quad \text{unidades de \'area}$

Abordemos, ahora, la última parte del problema. El recinto acotado entre la parábola y el eje de abscisas genera, al girarlo alrededor de dicho eje, un cuerpo de revolución. Calcularemos su volumen teniendo en cuenta la simetria de dicho cuerpo.

Considerando el disco de radio $r(h)$ y de grosor $dh$ podemos sumar dichos infintos elementos diferencials de volumen de manera continua calculando la integral

$V=\int_{D}\,\pi\,\big(r(h)\big)^2\,dh$

puesto que $r$ representa la ordenada de un punto del recinto $9-x^2$; el grosor de dicho disco es la cantidad diferencial $dx$, y que los límites de integración (del recinto) són las abscisas de los puntos de corte de la parábola con el eje de abscisas

$9-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 3$

podemos concretar el cálculo así

$\displaystyle V=\int_{-3}^{3}\,\pi\,\big(9-x^2)^2\,dx = \ldots = \dfrac{1296}{5}\, \pi \quad \text{unidades de volumen}$

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[nota del autor]