Aplicaciones del teorema de Lagrange ( o del valor medio )

ENUNCIADO. Dada la función $f(x)=3x^2$, encuéntrese un punto en el que la recta tangente a la curva en dicho punto sea paralela a la cuerda que une los puntos $A(0,0)$ y $B(4,48)$

SOLUCIÓN. Como la función $f$ es continua y derivable para cualquier valor $x$ de $\mathbb{R}$, desde luego lo es también para todos los números reales comprendidos entre $0$ y $4$, ambos incluidos, luego estamos en condiciones de aplicar el teorema del valor medio o de Lagrange. Existe pues un punto $P$ de abscisa $x_P$ tal que $$\dfrac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}=f'(x_P)$$ por lo que, con los datos del problema, podemos escribir $$\dfrac{48-0}{4-0}=f'(x_P)$$ y teniendo en cuenta que $f'(x)=6x$, tenemos que $$\dfrac{48-0}{4-0}=6\,x_p \Rightarrow x_P=2$$ luego $y_P=f(x_P)=f(2)=3\cdot 2^2=12$, por lo que el punto pedido es $P(2,12)$
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