Construcción de una función de un determinado tipo, calculando el valor de varios parámetros, dadas determinadas condiciones

ENUNCIADO. Dada la función $f(x)=ax^4+3bx^3-3x^2-ax$, determinar el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la gráfica de la función presente dos puntos de inflexión, uno en $x=1$ y otro en $x=\dfrac{1}{2}$

SOLUCIÓN. Impondremos la condición de punto de inflexión, $f''(x)=0$. La primera derivada es $f'(x)=4ax^3+9bx^2-6x-a$, luego la función segunda derivada es $f''(x)=12ax^2+18bx-6$. De la condición, $$2ax^2+3bx-1=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-3b\pm \sqrt{9b^2+8a}}{4a}$$ Como $x$ ha de tomar los valores $1$ y $1/2$, podemos escribir el siguiente sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}\dfrac{-3b+\sqrt{9b^2+8a}}{4a}=1 \\ \\ \dfrac{-3b-\sqrt{9b^2+8a}}{4a}=1/2 \end{matrix}\right.$$ esto es $$\left\{\begin{matrix}(4a+3b)^2=9b^2+8a \\ \\ (2a+3b)^2=9b^2+8a \end{matrix}\right.$$ que simplificado queda $$\left\{\begin{matrix}2a+3b=1 \\ a+3b=2\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}2a&+&3b&=&1 \\&& -3b&=&-3\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}a&&&=&-1 \\&& b&=&1\end{matrix}\right.$$ Por consiguiente, la función pedida es $$f(x)-x^4+3x^3+3x^2+1$$
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