Aplicaciones de la derivada

ENUNCIADO. Una gota de agua ( que suponemos tiene forma esférica ) cae durante la lluvia, absorbiendo humedad ( aumentando su tamaño ) de forma proporcional a su área ( hipótesis ). Demuéstrese que, en estas condiciones, su radio crece a velocidad constante.

SOLUCIÓN. Denotemos por $V$ al volumen de la gota de agua, que, naturalmente es función del radio de la gota, $r$; y éste, de $t$ ( tiempo ). De acuerdo a lo que se dice en el enunciado podemos escribir $$\dfrac{dV(t)}{dt}=k\,A(t) \quad \quad (1)$$ Teniendo en cuenta que el volumen de una esfera viene dado por la expresión $V(t)=\dfrac{4}{3}\,\pi\,(r(t))^3$ y que el área de la superficie de la esfera es $4\,\pi\,(r(t))^2$, derivando el volumen y aplicando para ello la regla de la cadena podemos escribir (1) de la forma $$\dfrac{4}{3}\,\pi \dfrac{d(r(t))^3}{dr}\cdot\dfrac{d(r(t)}{dt}=4\,\pi\,k\,(r(t))^2$$ esto es $$\dfrac{4}{3}\,\pi \cdot 3\,(r(t))^2 \cdot\dfrac{d(r(t)}{dt}=4\,\pi\,k\,(r(t))^2$$ y simplificando $$\dfrac{d(r(t)}{dt}=k\; \text{constante}$$ que es lo que queríamos demostrar. $\square$