Funciones periódicas y no periódicas

ENUNCIADO. Demuéstrese que la función $f(x)=\sin\,\left|2x\right|$ no es periódica

SOLUCIÓN. Recordemos que una función $g(x)$ es periódica si existe un número real $T$, al que llamamos periodo, tal que $g(x)=g(x+T)$ para todo valor $x$ en el que $g$ está definida.

Estudiemos la función pedida, $f$. Tengamos en cuenta que en el caso de $x\ge 0$, la función en estudio sería $y=\sin\,2x$, que, desde luego, es periódica ( de periodo $\pi$ ), es decir, $\sin\,2x=\sin\,(2x+\pi)$. Sin embargo, al tener en cuenta también los valores negativos de $x$ y el valor absoluto en el argumento, podemos ver que la función pedida $f$ no es periódica, pues basta encontrar algún contraejemplo: buscando dos valores del argumento del seno tales que, distanciados un valor de $\pi$, no tengan la misma imagen por $f$.

Por ejemplo $-\pi/4$ y $3\,\pi/4$; en efecto, vemos que $ 3\,\pi/4 - (-\pi/4)=\pi$, esto es $3\,\pi/4= -\pi/4 +\pi$; sin embargo $f( -\pi/4 ) = \sin\,|2\,(-\pi/4)|=\sin\,\,\pi/2 = 1$. Y, por otra parte, $f(-\pi/4 +\pi ) = f( 3\,\pi/4 ) =\sin\,|2\,(3\,\pi/4)|=\sin\,\,3\,\pi/2 = -1$, con lo cual $f( -\pi/4 ) \neq f(-\pi/4 +\pi )$, luego $f$ no es periódica.

$\square$