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miércoles, 7 de febrero de 2018

Funciones periódicas y no periódicas

ENUNCIADO. Demuéstrese que la función f(x)=\sin\,\left|2x\right| no es periódica

SOLUCIÓN. Recordemos que una función g(x) es periódica si existe un número real T, al que llamamos periodo, tal que g(x)=g(x+T) para todo valor x en el que g está definida.

Estudiemos la función pedida, f. Tengamos en cuenta que en el caso de x\ge 0, la función en estudio sería y=\sin\,2x, que, desde luego, es periódica ( de periodo \pi ), es decir, \sin\,2x=\sin\,(2x+\pi). Sin embargo, al tener en cuenta también los valores negativos de x y el valor absoluto en el argumento, podemos ver que la función pedida f no es periódica, pues basta encontrar algún contraejemplo: buscando dos valores del argumento del seno tales que, distanciados un valor de \pi, no tengan la misma imagen por f.

Por ejemplo -\pi/4 y 3\,\pi/4; en efecto, vemos que 3\,\pi/4 - (-\pi/4)=\pi, esto es 3\,\pi/4= -\pi/4 +\pi; sin embargo f( -\pi/4 ) = \sin\,|2\,(-\pi/4)|=\sin\,\,\pi/2 = 1. Y, por otra parte, f(-\pi/4 +\pi ) = f( 3\,\pi/4 ) =\sin\,|2\,(3\,\pi/4)|=\sin\,\,3\,\pi/2 = -1, con lo cual f( -\pi/4 ) \neq f(-\pi/4 +\pi ), luego f no es periódica.

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