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martes, 19 de febrero de 2019
martes, 13 de febrero de 2018
Aplicaciones de la derivada. Extremos relativos. Optimización.
ENUNCIADO. El número de individuos ( expresado en millares ) en función del tiempo ( expresado en horas ) de una población bacteriana se describe mediante la siguiente función $$N(t)=2t\,(t-10)^2+50$$ Se pide:
a) ¿ Cuántas bacterias hay al iniciar el proceso ?
b) Calcúlese cuánto tiempo ha de pasar, inferior a las cuatro primeras horas, para que la población alcance un máximo local.
SOLUCIÓN.
a) $N(0)=2\cdot 0\,((0-10)^2+50=0+50=50$ millares
b) Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $N'(t)=0$, y teniendo en cuenta que $N'(t)=2\,\left( 1\cdot (t-10)^2+2\,(t-10)\,t\right)$ obtenemos $$2\,(t-10)\,(3t-10)=0$$ cuyas soluciones son $t^{*}_{1}=10\, \text{horas} \succ 4\, \text{horas}$ ( y por tanto no nos sirve ) y $t^{*}_{2}=\dfrac{10}{3}\, \text{horas} \prec 4\, \text{horas}$, que es la solución buscada. Procedemos ahora a comprobar que se trata de un máximo local. Por el criterio del signo de la segunda derivada en el punto en cuestión, vemos que $N''(t)=2\,(6t-40)$, luego $N''(10/3)=2\,\left(\dfrac{6\cdot 10}{3}-40\right)=-40\prec 0$, luego queda comprobado que se trata de un máximo local. $\square$
a) ¿ Cuántas bacterias hay al iniciar el proceso ?
b) Calcúlese cuánto tiempo ha de pasar, inferior a las cuatro primeras horas, para que la población alcance un máximo local.
SOLUCIÓN.
a) $N(0)=2\cdot 0\,((0-10)^2+50=0+50=50$ millares
b) Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $N'(t)=0$, y teniendo en cuenta que $N'(t)=2\,\left( 1\cdot (t-10)^2+2\,(t-10)\,t\right)$ obtenemos $$2\,(t-10)\,(3t-10)=0$$ cuyas soluciones son $t^{*}_{1}=10\, \text{horas} \succ 4\, \text{horas}$ ( y por tanto no nos sirve ) y $t^{*}_{2}=\dfrac{10}{3}\, \text{horas} \prec 4\, \text{horas}$, que es la solución buscada. Procedemos ahora a comprobar que se trata de un máximo local. Por el criterio del signo de la segunda derivada en el punto en cuestión, vemos que $N''(t)=2\,(6t-40)$, luego $N''(10/3)=2\,\left(\dfrac{6\cdot 10}{3}-40\right)=-40\prec 0$, luego queda comprobado que se trata de un máximo local. $\square$
Aplicaciones de la derivada. Extremos relativos. Optimización de funciones.
ENUNCIADO. Determínise el punto de la curva asociada a la función $f(x)=\sqrt{x}$ ( se toma el valor positivo de la raíz cuadrada ) más próximo al punto $A(2,0)$
SOLUCIÓN. Sea un punto $P(x,\sqrt{x})$ de la gráfica de la función ( de la curva ), entonces la distancia euclídea entre $P$ y $A$ es $d(A,P)=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}$, que es función de $x$: $$d(x)=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}$$ esto es $$d(x)=\sqrt{(x-2)^2+x}$$
Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $d'(x)=0$; y teniendo en cuenta que $$g'(x)=\dfrac{1}{2\,\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}}\cdot \left( (x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2 \right)'$$ las abscisas de los extremos relativos son solución de la ecuación $$\dfrac{2\,(x-2)+1}{2\,\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}}=0$$ que es cero si y sólo si se anula el numerador ( no anulándose simultáneamente el denominador ) $$2\,(x-2)+1=0 \Leftrightarrow x^{*}=\dfrac{3}{2}$$
Veamos si se trata de un mínimo relativo. Para ello utilizaremos el criterio del signo de la primera derivada a ambos lados del extremos relativo:
Podemos comprobar que $f'((3/2)^-) \overset{1 \prec 3/2}{\rightarrow} f'(1) \prec 0$ y que $f'((3/2)^+) \overset{2 \succ 3/2}{\rightarrow} f'(2) \succ 0$, luego el extremo relativo encontrado corresonde a un mínimo relativo.
Tal como se bosqueja en la gráfica de la función, este mínimo relativo es también el mínimo absoluto.
La ordenada correspondiente a $x^*=3/2$ es $f(3/2)=\sqrt{3/2}$. En consecuencia, el punto de la curva que está a distancia mínima de $A(2,0)$ es el punto de coordenadas $P_{\text{mín}}\left(3/2,\sqrt{3/2}\right)$
$\square$
SOLUCIÓN. Sea un punto $P(x,\sqrt{x})$ de la gráfica de la función ( de la curva ), entonces la distancia euclídea entre $P$ y $A$ es $d(A,P)=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}$, que es función de $x$: $$d(x)=\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}$$ esto es $$d(x)=\sqrt{(x-2)^2+x}$$
Imponiendo la condición necesaria de existencia de extremos relativos, $d'(x)=0$; y teniendo en cuenta que $$g'(x)=\dfrac{1}{2\,\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}}\cdot \left( (x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2 \right)'$$ las abscisas de los extremos relativos son solución de la ecuación $$\dfrac{2\,(x-2)+1}{2\,\sqrt{(x-2)^2+(\sqrt{x}-0)^2}}=0$$ que es cero si y sólo si se anula el numerador ( no anulándose simultáneamente el denominador ) $$2\,(x-2)+1=0 \Leftrightarrow x^{*}=\dfrac{3}{2}$$
Veamos si se trata de un mínimo relativo. Para ello utilizaremos el criterio del signo de la primera derivada a ambos lados del extremos relativo:
Podemos comprobar que $f'((3/2)^-) \overset{1 \prec 3/2}{\rightarrow} f'(1) \prec 0$ y que $f'((3/2)^+) \overset{2 \succ 3/2}{\rightarrow} f'(2) \succ 0$, luego el extremo relativo encontrado corresonde a un mínimo relativo.
Tal como se bosqueja en la gráfica de la función, este mínimo relativo es también el mínimo absoluto.
La ordenada correspondiente a $x^*=3/2$ es $f(3/2)=\sqrt{3/2}$. En consecuencia, el punto de la curva que está a distancia mínima de $A(2,0)$ es el punto de coordenadas $P_{\text{mín}}\left(3/2,\sqrt{3/2}\right)$
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