Aplicaciones de la derivada

ENUNCIADO. Un globo se encuentra a $200$ metros de un prado horizontal y se eleva a razón de $15\, \dfrac{\text{m}}{\text{s}}$. Un automóvil pasa bajo el globo a una velocidad de $162\,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$, siguiendo una trayectoria recta,. ¿ Con qué velocidad se separan el globo del automóvil $1\,\text{s}$ después ?.

SOLUCIÓN. La posición del globo ( en cada instante de tiempo ) con respecto del punto $O$ en el prado, bajo su vertical, es $y(t)=200+15\,t$, y la posición del automóvil ( en cada instante de tiempo ) con respecto del punto $O$ es $x(t)=162\,t$

Calculemos ahora la longitud del segmento rectilíneo que une el centro de la barquilla del globo con el centro del automóvil, cuya longintud es la distancia euclídea entre ambos móviles, la cual depende del tiempo $t$. Aplicando el teorema de Pitágoras, se puede ver que $$\ell(t)=\sqrt{(200+15t)^2+(162\,t)^2}$$

Entonces, la velocidad con la que se separan dichos móviles viene dada por la derivada de $\ell(t)$ con respecto de $t$, esto es $$\dfrac{d\ell(t)}{dt}=\dfrac{3\,(8823\,t+1000)}{\sqrt{(200+15\,t)^2+(162\,t)^2}}$$ luego $$\left(\dfrac{d\ell(t)}{dt}\right)_{t=1\,\text{s}}=\dfrac{3\,(8823\cdot 1+1000)}{\sqrt{(200+15\cdot 1)^2+(162\cdot 1)^2}}\approx 110 \,\dfrac{\text{m}}{\text{s}}$$

$\square$