Un ejercicio acerca del teorema de Rolle

ENUNCIADO. Se considera la función $$g(x)=x\,e^{-x^2}+a\,x$$ donde $a$ es un parámetro real. Calcúlense los valores que puede tomar $a$ para que pueda aplicarse el teorema de Rolle en el intervalo de la variable independiente $[0,1]$

SOLUCIÓN.

Teorema de Rolle. Sea $g(x)$ una función real de una variable real, continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$. En estas condiciones, existe al menos un valor de $x$ entre $a$ y $b$ en el cual se anula la primera derivada de $g(x)$.

En el caso concreto que nos ocupa, la función derivada de $g(x)$ es $g'(x)=e^{-x^2}\,(1-2x^2)+a$. Al anularse dicha derivada (tesis), obtenemos $$a=(2\,x^2-1)\,e^{-x^2}$$ de manera que se tiene que en los extremos del intervalo señalado:
  i) Para $x:=0$, $a=(2\cdot 0-1)\cdot e^{0}=-1$
y
  ii) Para $x:=1$, $a=(2\cdot 1^2-1)\cdot e^{-1^2}=1\cdot e^{-1}=\dfrac{1}{e}$
luego el conjunto de valores pedidos de $a$ son tales que $-1 \prec a \prec \dfrac{1}{e}$
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Aplicaciones del teorema de Rolle

ENUNCIADO. La función $f:[1,3]\subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: x \mapsto x^2-4x+11$ , ¿ verifica las condiciones suficientes del teorema de Rolle ? En caso afirmativo, encontrar una abscisa, $x_P$, tal que $f'(x_P)=0$

SOLUCIÓN. La función, al ser de tipo polinómico, es continua en el intervalo $[1,3]$ y derivable en $(1,3)$; por otra parte, $f(1)=f(3)=8$, luego se cumplen las condiciones suficientes. Procedamos a calcular $x_P$. La condición necesaria del teorema es: existe un $x_P$ en $(1,3)$ tal que $f'(x_P)=0$, como $f'(x)=2x-4$, tenemos que $2x_P-4=0$, luego $x_P=2$ $\square$

Aplicaciones del teorema de Bolzano y del teorema de Rolle

Enunciado:
(a) Demostrar, a partir del Teorema de Rolle, que la función $f(x)=x^4-x^3+5\,x^2-2$ no puede tener más de dos raíces.
(b) Demostrar, a partir del Teorema de Bolzano, que la función $f(x)=-(x+1)^3$ tiene por lo menos una raíz en el intervalo $(-2\,,\,0) \subset \mathbb{R}$.
(c) Calcular el límite $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x^3}{e^x-1}$, empleando la regla de l'Hôpital ( consecuencia del Teorema del Valor Medio Extendido o teorema de Cauchy ) para resolver la indeterminación que aparece.

Resolución:
a)
Estudiando las raíces de la función primera derivada $f'(x)=4\,x^3-3\,x^2+10x$, encontramos: $f'(x)=0 \Leftrightarrow 4\,x^3-3\,x^2+10x=0 \Leftrightarrow x\,(4\,x^2-3x+10)=0 \Leftrightarrow x=0$ o bien $4\,x^2-3x+10=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{-(-3)\pm \sqrt{9-4\cdot 10 \cdot 4}}{2\cdot 4} \notin \mathbb{R}$, con lo cual $f'(x)$ sólo tiene una raiz ( $x=0$ ), luego, por el Teorema de Rolle ( $f(x)$ es continua y derivable en $D_f=\mathbb{R}$ ), se deduce de ello que $f(x)$ tiene a lo sumo dos raíces.

b)
La función $f(x)$ cambia de signo en los extremos del intervalo indicado, esto es $f(-2)=-(-2+1)^3=-(-1)^3=-(-1)=1 \succ 0$ y $f(0)=-(0+1)^3=-(1)^3=-1 \prec 0$, luego, por el Teorema de Bolzano ( la función $f(x)$ es continua y derivable en $D_f=\mathbb{R}$ y, por tanto, lo es también en el intervalo indicado ) se deduce que $f(x)$ tiene por lo menos una raiz en $(-2\,,\,0) \subset \mathbb{R}$

c)
Al pasar al límite, encontramos
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x^3}{e^x-1}=\dfrac{0}{0}$   ( indeterminación )
Como estamos en condiciones de aplicar la regla de l'Hôpital, esto es, la derivada de la función del denominador $(e^x-1)'=e^x$ es no nula en $x=0$ ( valor al que se hace tender la variable de control del límite ), vamos a hacer uso de este método ( $\displaystyle \lim_{x \rightarrow c}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow c}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ ), tal como se nos pide en el enunciado:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x^3}{e^x-1}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{(x^3)'}{(e^x-1)'}=\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{3\,x^2}{e^x}=\dfrac{3\cdot 0^2 }{e^0}=\dfrac{0}{1}=0$

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Raíces de una función continua en un cierto intervalo

ENUNCIADO:
Demostrar que la función $f(x)=x^5+x-5$ tiene exactamente una raíz.

SOLUCIÓN:

Observemos que si intentamos resolver la ecuación $f(x)=0$ para encontrar las raíces de la función pedida, no podemos hacerlo de forma exacta; debería, pues, hacerse de forma aproximada; de ahí la pregunta formulada, aunque no nos piden que encontremos el valor de la raíz sino simplemente se nos pide que justifiquemos la afirmación del enunciado: "la función pedida sólo tiene una raíz". Para ello, vamos a utilizar el Teorema de Rolle y el Teorema de Bolzano.

Según el Teorema de Rolle, el número de raíces de una función continua en un intervalo $[a,b]$ ( en este caso en toda la recta numérica ) y derivable en $(a,b)$ ( en este caso es derivable en toda la recta numérica ) es igual, a lo sumo, al número de ráices de la función derivada más uno. Veamos, pues, cuántas raíces tiene la función derivada
$f'(x)=5x^4+1$; para ello, igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante: $5x^4+1=0$. Esta ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales, por tanto, el número de raíces, $n$, de $f'(x)$ es cero ( $n=0$ ). Entonces, como ya hemos comentado, por el Teorema de Rolle, el máximo número de raíces de $f(x)$ es $n+1$, que en el caso que nos ocupa es $0+1=1$.

Sólo nos queda, ahora, demostrar que existe dicha raíz. Observemos que $f(0)=-5 \prec 0$ y $f(2) \succ 0$, presentado un cambio de signo en el intervalo $[0,2]$, de lo cual deducimos que, al ser continua la función, según el teorema de Bolzano, ésta corta al eje de abscisas al menos en un punto de dicho intervalo. Y como hemos visto, por el Teorema de Rolle, que el número máximo de dichos puntos de corte ( raíces ) es $1$, queda probado que la función pedida tiene exactamente una raíz. $\square$

Teoremas básicos acerca de funciones continuas y derivables

TEOREMAS BÁSICOS SOBRE CONTINUIDAD

Teorema de Weierstrass. Una función real de variable real, $f(x)$, continua en un intervalo cerrado y acotado, entonces dicha función está acotada y alcanza la menor de las cotas superiores ( supremo ) y la mayor de las cotas inferiores ( ínfimo ) dentro del mismo, es decir, alcanza los valores máximo y mínimo en puntos de dicho intervalo. En otras palabras, existen $x_1,x_2 \in [a,b]$ tales que $f(x_1)=\text{min}\,\{f(x)\}$ y $f(x_2)=\text{max}\,\{f(x)\}$

Nota: Desde luego, al hablar aquí de máximo y mínimo, no debe entenderse que éstos han de ser necesariamente máximos y mínimos relativos ( locales ).

Teorema de Bolzano. Sea $f(x)$ una función real de variable real, continua en un intervalo cerrado, y tal que en sus extremos los valores de función son de signos opuestos, entonces existe por lo menos una raíz de la función que pertenece a dicho intervalo.

Corolario (Teorema de los valores intermedios)
Con las premisas del teorema de Bolzano, se tiene que para cualquier $f(a) \le k \le f(b)$ existe al menos un valor $c \in [a,b]$ tal que $f(c)=k$

Nota: No debe confundirse el teorema de los valores intermedios con el teorema del valor medio ( o teorema de Lagrange ), que se expondrá a continuación.

TEOREMAS BÁSICOS SOBRE DERIVABILIDAD DE FUNCIONES CONTINUAS EN UN CIERTO INTERVALO

Teorema de Fermat. Sea $f(x)$ una función real de variable real, definida en cierto entorno del punto $x_0$, siendo tal que en dicho punto la función es derivable, y toma en él el valor máximo ó el v. mínimo, entonces $f'(x_0)=0$


Teorema de Rolle. Sea $f(x)$ una función real de variable real, continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$; entonces, si $f(a)=f(b)$ existe por lo menos un punto $c \in (a,b)$ tal que $f'(c)=0$.

Teorema de Lagrange ( o del valor medio). Sea $f(x)$ una función real de variable real, continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$; entonces existe al menos un punto $c \in (a,b)$ tal que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en este punto es igual a la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $(a,f(a))$ y $(b,f(b))$, esto es, $f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Teorema de Cauchy. Sean dos funciones reales de variable real, $f(x)$ y $g(x)$, continuas en un intervalo cerrado $[a,b]$ y derivables en $(a,b)$; entonces existe al menos un punto $c \in (a,b)$ tal que $\dfrac{f'(c)}{g'(c)}=\dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

Observación: Una consecuencia de este teorema es la regla de L'Hôpital, muy útil para trabajar con indeterminaciones en el cálculo de límites:
i) Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,g(x)=0$ y existe $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$, entonces $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$$

ii) Si $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,g(x)=\infty$ y existe $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$, entonces $$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow a}\,\dfrac{f'(x)}{g'(x)}=b$$

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