Aplicaciones de la derivada. Ecuación de la recta tangente a la curva de una función dada en un cierto punto.

ENUNCIADO. Determínese la ecuación de la recta tangente a la curva asociada a la función $f(x)=x^3+x+1$ en el punto de abscisa $x=1$

SOLUCIÓN. La ecuación de la recta (tangente) pedida es $\text{r.t.}\equiv y=mx+k$ ( ecuación en forma explícita de una recta en el plano ), donde $m$ es la pendiente de la recta y $k$ es la ordenada en el origen. Sabemos que $m\overset{\text{def}}{=}f'(1)$. Teniendo en cuenta que $f'(x)=3\,x^2+1$, vemos que $f'(1)=3\cdot 1^2+1=4$, luego $m=4$. Por otra parte, el valor de la ordenada de la función del punto con abscisa igual a $1$, $f(1)$, ha de ser igual al valor de la ordenada de la función lineal $y=4x+k$ en $x=1$, por consiguiente, como $f(1)=1^3+1+1=3$, tenemos que $3=4\cdot 1 +k$, de donde despejando $k$, se obtiene $k=3-4=-1$. En consecuencia, la ecuación de la recta tangenete pedida es $$y=4x-1$$
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