El teorema de Lagrange y la desigualdad de Bernoulli

El teorema de Lagrange ( o del valor medio ) sirve para demostrar desigualdades entre funciones, por ejemplo la desigualdad de Bernouilli, que dice lo siguiente: para todo $x \succ 0$ y para cualquier número real $k \succ 1$ se cumple la llamda desigualdad de Bernoulli: $$(1+x)^k \succ 1 +k\,x$$ Procedamos a demostrarla:

La función $f(x)=(1+x)^k$ es continua en el intervalo $[0,x] \subset \mathbb{R}$ y derivable en el intervalo $(0,x)$, con lo cual se cumple la tesis del teorema de Lagrange: existe un $x_P$, $0\prec x_P \prec x$, tal que $$\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(x_P)$$ Como $f(0)=(1+0)^k=1$, tenemos que $$(1+x)^k-1=x\,f'(x_P)$$ Y teniendo en cuenta que $f'(x)=k\,(1+x)^{k-1}$ podemos escribir $$(1+x)^k-1=k\,x\,(1+x_P)^{k-1}$$ esto es $$(1+x)^k=1+k\,x\,(1+x_P)^{k-1}$$ Ahora bien, $(1+x_P) \succ 1$ luego $(1+x_P)^{k-1}\succ 1$ y, en consecuencia, $$(1+x)^k\succ 1+k\,x$$
$\square$