Calculando límites

ENUNCIADO. Calcular el siguiente límite $$\displaystyle\,\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x}{\sin\,x}$$

SOLUCIÓN. $\displaystyle\,\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{x}{\sin\,x}\overset{\frac{0}{0}}{=}\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{(x)'}{(\sin\,x)'}=\lim_{x \rightarrow 0}\,\dfrac{1}{\cos\,x}=\dfrac{1}{\cos\,0}=\dfrac{1}{1}=1$
donde hemos aplicado la regla de l'Hôpital para resolver la indeterminación indicada
$\square$

Cálculo de límites de funciones

ENUNCIADO. Calcular el siguiente límite $$\displaystyle\,\lim_{x \rightarrow \infty}\,\dfrac{\sin\,x}{x}$$

SOLUCIÓN. La función del numerador, $\sin\,x$, está acotada entre $-1$ y $1$; por otra parte, al pasar al límite el denominador tiene a $\infty$, luego el límite pedido tiende a $0$ $\square$

Cálculo de límites

Análisis de funciones

ENUNCIADO. Dada la función real de variable real $$f(x)=\left\{\begin{matrix}x\,e^{2x}&\text{si}&x \prec 0 \\ \\\dfrac{\ln(x+1)}{x+1}&\text{si}&x\ge 0 \end{matrix}\right.$$ donde $\ln$ significa logaritmo neperiano, se pide:
a) Estudiar la continuidad y derivabilidad de $f(x)$ en $x=0$
b) Calcular $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \,-\infty}\,f(x)$ y $\displaystyle \lim_{x \rightarrow \, +\infty}\,f(x)$
c) Calcular $\displaystyle \int_{-1}^{0}\,f(x)\,dx$

SOLUCIÓN.

Límits de funcions

Càlcul de límits de funcions

Definició de límit d'una funció $f$ en $x=a$
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a}\,f(x)=l$
La funció $f$ tendeix al límit $l$ en $a$ significa que
per a tot nombre real $\epsilon >0$ existeix algun $\delta >0 $ (un altre nombre real) tal que, per a tot $x$, si $\left| x-a \right|< \delta$, llavors $\left| f(x)-l \right|< \epsilon $ ( Referencia: M. Spivak: Calculus, 2a edició, Reverté, 1991)


Cal tenir en compte que si aquest límit global existeix, es desprèn de la pròpia definició que els límits laterals per l'esquerra i per la dreta han d'existir i han de tenir el mateix valor:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^{+}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow a^{-}}\,f(x)=\lim_{x \rightarrow a}\,f(x)$

Notació alternativa:
Els límits laterals també es poden veure escrits de la següent manera:
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^{+}}\,f(x)=\lim_{x \downarrow a}\,f(x)$     límit lateral per la dreta
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^{-}}\,f(x)=\lim_{x \uparrow a}\,f(x)$     límit lateral per l'esquerra


Definició de límit d'una funció $f$ en $x=a$ per la dreta
$\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^{+}}\,f(x)=l_d$
significa que
per a tot nombre real $\epsilon >0$ existeix algun $\delta >0 $ (un altre nombre real) tal que, per a tot $x$, si $0 < x-a < \delta$, llavors $\left|f(x)-l_d \right|< \epsilon $ Definició de límit d'una funció $f$ en $x=a$ per l'esquerra $\displaystyle \lim_{x \rightarrow a^{-}}\,f(x)=l_e$ significa que per a tot nombre real $\epsilon >0$ existeix algun $\delta >0 $ (un altre nombre real) tal que, per a tot $x$, si $0 < a-x < \delta$, llavors $\left|f(x)-l_e\right|< \epsilon $

Pràctiques:

Estudieu els següents límits:

      a)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}$

      b)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}$

      c)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\;\dfrac{x}{1-\left|\sqrt{x+1}\right|}$

      d)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^{+}}\;\dfrac{1}{3-x}$

      e)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3^{-}}\;\dfrac{1}{3-x}$

      f)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 3}\;\dfrac{1}{3-x}$

      g)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{+}}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3\,x^2+3\,x+1}$

      h)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^{-}}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3\,x^2+3\,x+1}$

      i)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1}\;\dfrac{x^2+2x+1}{x^3+3\,x^2+3\,x+1}$

      j)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{+}}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}$

      k)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^{-}}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}$

      l)     $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1}\;\dfrac{x^5-1}{x^7-1}$

Ajut: Mireu les gràfiques de les funcions dels arguments dels límits fent ús de GeoGebra, tot reflexionant sobre la definició de límit lateral per la dreta/esquerra. En algun d'aquests exercics, els límits laterals no coincideixen; o, fins i tot, algun d'aquests no existeix, raons per les quals el límit global - en aquests casos - no existeix.