Otro ejercicio al hilo del teorema fundamental del cálculo

ENUNCIADO. Se define la siguiente función $$\int_{0}^{x}\,f(t)\,dt=x^2(x+1)$$ Calcúlese $f(2)$.

SOLUCIÓN. De acuerdo con el Teorema Fundamental del Cálculo, $\int\,f(x)\,dx=F(x)+C$, de manera que $F'(x)=f(x)$; por tanto $f(2)\overset{\text{t.f.c.}}{=}F'(2)=\left( x^2(1+x) \right)'|_{x=2}=(3x^2+2x)'|_{x=2}=3\cdot 2^2+2\cdot 2=16$
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Primer teorema fundamental del cálculo

Sea una función $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ continua en $[a,b]$, entonces la función $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x}\,f(t)\,dt$ es derivable y verifica $F'(x)=f(x)$

Ejemplo. Se considera la función $f(x)=x$, que es continua, en este caso, en todo punto de $\mathbb{R}$; entonces, $F(x)=\dfrac{1}{2}\,x^2$ -- función a la que denominamos una primitiva de $f$ --, y, en efecto, se cumple que $F'(x)=\left(\dfrac{1}{2}\,x^2\right)^{'}=x$

Ejercicios de integración

ENUNCIADO.
I) Calcular las siguientes integrales indefinidas:
a) $\displaystyle \int \,\dfrac{dx}{x^2+4}$       b) $\displaystyle \int\,x\,e^x\,dx$
II) Calcular la integral definida $\displaystyle \int_{-1}^{1}\,(2x-5)^5\,dx$

SOLUCIÓN.
I.a)
Esta integral es semi inmediata, pues es sabido que $\displaystyle \int \,\dfrac{dx}{x^2+1}=\arctan\,x+C$; así que basta con hacer unos arreglos para calcular la familia de primitivas que corresponde a la función del integrando:
$\displaystyle \int \,\dfrac{dx}{x^2+4}=\dfrac{1}{4}\,\int \,\dfrac{dx}{x^{2}/4+4/4}=\dfrac{1}{4}\,\int \,\dfrac{dx}{(x/2)^2+1}\overset{(1)}{=} \dfrac{1}{4}\,\int \,\dfrac{2\,dt}{t^2+1}=\dfrac{1}{2}\,\int \,\dfrac{dt}{t^2+1}=$
  $=\arctan\,t+C\overset{(2)}{=} \dfrac{1}{2}\,\arctan\,\dfrac{x}{2}+C$

(1) cambio de variable: si $t:=x/2$, $dx=2\,dt$
(2) deshaciendo el cambio de variable

I.b)
La función del integrando, $x\,e^x$, es el producto de dos funciones de distinta naturaleza, por lo que emplearemos el método de integración por partes: $$\int\,u\,dv = u\,v-\int\,v\,du$$ Designando $u:=x$, con lo cual $dx=du$, y, $e^x\,dx=dv$ y por tanto $v=\int\,e^x\,dx=e^x$. Así, podemos escribir $$\displaystyle \int\,x\,e^x\,dx=x\,e^x-\int\,e^x\,dx$$ e integrando fácilmente el segundo término del segundo miembro, encontramos finalmente $$\displaystyle \int\,x\,e^x\,dx=x\,e^x-e^x+C=e^x\,(x-1)+C$$

II) Mediante un sencillo cambio de variable, $t:=2x-5$ ( y por tanto $dx=\dfrac{1}{2}\,dt$ ), teniendo en cuenta la integral indefinida inmediata $\int\,t^n\,dt=\dfrac{1}{n+1}\,t^{n+1}+C$, vemos que una primitiva de $f(x)=(2x-5)^5$ es $F(x)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{6}\,(2x-5)^6$, luego por la regla de Barrow, $\displaystyle \int_{-1}^{1}\,(2x-5)^5\,dx=F(1)-F(-1)=\dfrac{1}{12}\,\left( (2\cdot 1-3)^6-(2\cdot (-1)-3)^6\right)=$
  $=\dfrac{1}{12}\,(1-5^6)=-1302$
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Derivada de una función definida mediante una integral

ENUNCIADO. Sea la función $F(x)$ definida mediante la siguiente integral $$\displaystyle F(x)\overset{.}{=} \int_{3x}^{x^2}\,\cos(t)\,dt$$ Calcúlese la derivada de dicha función

SOLUCIÓN. Una consecuencia del teorema fundamental del cálculo es la siguiente, si $\displaystyle F(x)=\int_{g(x)}^{h(x)}\,f(t)\,dt$ entonces $F'(x)=f\left( h(x) \right)\cdot h'(x)-f\left( g(x) \right)\cdot g'(x)$. Así pues, en nuestro caso, $$F'(x)=\cos(x^2)\cdot(x^2)'-\cos(3x)\cdot(3x)'=2\,x\,cos\,x^2-3\,\cos\,3\,x$$
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Diferenciación bajo el signo integral

ENUNCIADO. Calcular la integral indefinida $$\displaystyle \int \,x\,e^{x^2}\,dx$$

SOLUCIÓN. Diferenciando bajo el signo integral:
$$\displaystyle \int \,x\,e^{x^2}\,dx \overset{(1)}{=} \int \,d\left(\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}\right)=\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}+C$$

(1)     $d\left(\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}\right)=\left(\dfrac{1}{2}\,e^{x^2}\right)'\,dx = \dfrac{1}{2}\cdot 2\,x\,e^{x^2}\,dx=x\,e^{x^2}\,dx$

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Integración. Primer teorema fundamental del cálculo.

Primer teorema fundamental del cálculo

Dada una función $f(x)$ continua -- siendo continua es integrable -- en el intervalo $\left[a,b\right]$, la función integral ( o función primitiva de $f(x)$ )

$\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} \, f(t)\,dt$

cumple que

$F^{'}(x)=f(x)$

Observación:
  . No todas las funciones tienen primitiva
  . Toda función continua tiene primitiva

Demostración:
Según la definición analítica de derivada de una función, podemos escribir
$$\displaystyle F'(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0}\Big( \dfrac{F(x+\Delta x) - F(x)}{\Delta x}\Big)$$

Estudiemos el cociente incremental que representa el argumento del límite que define la derivada de $F'(x)$, teniendo en cuenta la hipótesis del teorema:
$$\displaystyle \dfrac{ \int_{a}^{x + \Delta x} \, f(x)dx - \int_{a}^{x}\, f(x)dx }{\Delta x} = \dfrac{\int_{a}^{\Delta x}\,f(x)dx }{\Delta x}$$
Ahora bien, el numerador de esta expresión está acotado entre
$$f(x) \, \Delta x \quad \text{y} \quad f(x + \Delta x) \, \Delta x$$
y estas cotas respresentan las áreas de los rectángulos, que son respectivament, menor y mayor que él área por debajo del trozo de curva que da significado significado geométrico de la integral, es claro que, al pasar al límite cuando $ \Delta x \rightarrow 0$, se obtiene $F'(x) = f(x)$

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