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domingo, 11 de febrero de 2018

Aplicaciones del teorema de Lagrange ( o del valor medio ) a la aproximación del valor de una función en un punto

ENUNCIADO. Aproximar \sqrt{124} a partir de la aplicación del teorema de Lagrange a la función f(x)=\sqrt{x}

SOLUCIÓN. Observemos que 11^2=121 \prec 124 y que (11+1)^2=12^2=144 \succ 124, y teniendo en cuenta que la función f(x)=\sqrt{x} ( tomado el valor absoluto de la raíz cuadrada ) es continua en [11,12] \subset \mathbb{R} y derivable en el intervalo (11,12), estamos en condiciones de aplicar el teorema del valor medio ( o de Lagrange ); así que existe un punto x_P, comprendido entre 11 y 12, tal que \dfrac{f(124)-f(121)}{124-121}=f'(x_P)
y como f'(x)=\dfrac{1}{2\,\sqrt{x}}, podemos escribir \sqrt{124}=\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{\sqrt{x_P}}+11 \quad \quad (1)
Teniendo en cuenta ahora que 11^2\prec x_P\prec 124 \prec 12^2, se tiene que 11 \prec \sqrt{x_P} \prec 12 con lo cual \dfrac{1}{12}\prec \dfrac{1}{\sqrt{x_P}}\prec \dfrac{1}{11}. En consecuencia, de (1), ha de cumplirse que \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{12}+11 \prec \sqrt{124} \prec \dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{11}+11
esto es \dfrac{89}{8}\prec \sqrt{124}\prec \dfrac{245}{22}

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