Derivadas sucesivas

ENUNCIADO. Calcular la derivada de orden $n$ de la función $f(x)=\ln\,x$

SOLUCIÓN. Procedamos a obtener las derivadas sucesivas:
$f'(x)=\dfrac{1}{x}=x^{-1}$
  $f^{''}(x)=(x^{-1})'=-x^{-2}$
    $f^{'''}(x)=(-x^{-2})'=2\,x^{-3}$
      $f^{iv}(x)=(2\,x^{-3})'=-2\cdot 3\,x^{-4}$
        $f^{v}(x)=(-2\cdot 3\,x^{-4})'=2\cdot 3 \cdot 4\,x^{-5}$
          $f^{vi}(x)=(2\cdot 3 \cdot 4\,x^{-5})'=-2\cdot 3 \cdot 4\cdot 5\,x^{-6}$
            $\ldots$

De todo ello es fácil inducir que $f^{n}(x)=(-1)^{n-1}\cdot (n-1)!\,x^{-n}$
$\square$