Processing math: 100%

domingo, 11 de febrero de 2018

El teorema de Lagrange y la desigualdad de Bernoulli

El teorema de Lagrange ( o del valor medio ) sirve para demostrar desigualdades entre funciones, por ejemplo la desigualdad de Bernouilli, que dice lo siguiente: para todo x \succ 0 y para cualquier número real k \succ 1 se cumple la llamda desigualdad de Bernoulli: (1+x)^k \succ 1 +k\,x Procedamos a demostrarla:

La función f(x)=(1+x)^k es continua en el intervalo [0,x] \subset \mathbb{R} y derivable en el intervalo (0,x), con lo cual se cumple la tesis del teorema de Lagrange: existe un x_P, 0\prec x_P \prec x, tal que \dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}=f'(x_P) Como f(0)=(1+0)^k=1, tenemos que (1+x)^k-1=x\,f'(x_P) Y teniendo en cuenta que f'(x)=k\,(1+x)^{k-1} podemos escribir (1+x)^k-1=k\,x\,(1+x_P)^{k-1} esto es (1+x)^k=1+k\,x\,(1+x_P)^{k-1} Ahora bien, (1+x_P) \succ 1 luego (1+x_P)^{k-1}\succ 1 y, en consecuencia, (1+x)^k\succ 1+k\,x
\square

No hay comentarios:

Publicar un comentario

Gracias por tus comentarios