Incidencia de rectas en el espacio. Ejemplo de rectas que se cruzan

ENUNCIADO. Sean las rectas $r\equiv x-1=\dfrac{y+1}{2}=z$ y $s \equiv \dfrac{x+1}{-1}=y=z$ Investíguese la incidencia

SOLUCIÓN.
Un vector $\vec{u}$ de $r$ es $\vec{u}=(1,2,1)$ y un punto $P$ de dicha recta es $P(1,-1,0)$
Un vector $\vec{v}$ de $r$ es $\vec{v}=(-1,1,1)$ y un punto $Q$ de dicha recta es $Q(-1,0,0)$
El vector que desde $P$ ( de la recta $r$ ) que apunta a $Q$ ( de la recta $s$ ) es $\overset{\rightarrow}{PQ}=(-1-1,0-(-1),0-0)=(-2,1,0)$

Examinemos el rango de $\{\overset{\rightarrow}{PQ},\vec{u},\vec{v}\}$:

  $\text{rango}(\{\overset{\rightarrow}{PQ},\vec{u},\vec{v}\})=\text{rango}\,\begin{pmatrix}-2&1&0 \\ 1&2&1 \\ -1&1&1\end{pmatrix}=3$, luego al ser los tres vectores independientes, las rectas $r$ y $s$ se cruzan. $\square$