Espacio euclídeo. Plano bisector de dos planos secantes

ENUNCIADO. Determínense los planos bisectores del par de planos secantes $\pi\equiv x+y+z-1=0$ y $\pi'\equiv x-y+z+1=0$

SOLUCIÓN. Un plano bisector $\pi_b$ es divide el ángulo diedro que forman dos planos secantes en dos ángulos iguales. En realidad, hay dos planos bisectores ( y no sólo uno ), siendo éstos perpendiculares.

Consideremos un punto cualquiera $P$ de $\pi_b$, entonces deberá cumplirse que $d(P,\pi)=d(P,\pi')$, por consiguiente $$\dfrac{\left|x+y+z-1\right|}{\left|\sqrt{1^2+1^2+1^2}\right|}=\dfrac{\left|x-y+z+1\right|}{\left|\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}\right|}$$ esto es $$\dfrac{\left|x+y+z-1\right|}{\left|\sqrt{3}\right|}=\dfrac{\left|x-y+z+1\right|}{\left|\sqrt{3}\right|}$$
y por tanto
$\left|x+y+z-1\right|=\left|x-y+z+1\right| \Leftrightarrow $

  $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x+y+z-1=x-y+z+1 \Leftrightarrow y=1 \\ \\ x+y+z-1=-x+y-z-1 \Leftrightarrow x+z=0\end{matrix}\right.$

Así pues, los planos bisectores son $\pi_{b_1}\equiv y=1$ y $\pi_{b_2}\equiv x+z=0$

Observación: Comprobemos que son perpendiculares. El vector característico de $\pi_{b_1}$ es $(0,1,0)$, y el vector característico de $\pi_{b_2}$ es $(1,0,1)$, y como $\langle (0,1,0)\,,\,(1,0,1)\rangle = 0\cdot 1 + 1\cdot 0+0\cdot 1 =0$, dichos planos son, en efecto, perpendiculares uno con respecto al otro.
$\square$