Producto vectorial de dos vectores linealmente dependientes

ENUNCIADO. Probar que $\vec{u}$ y $\vec{v}$ ( ambos distintos de $\vec{0}$ ) son linealmente dependientes si y sólo si $\vec{u} \times \vec{v}=\vec{0}$

SOLUCIÓN. Vamos a demostrar que se cumple la condición necesaria. Si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son linealmente dependientes entonces $\text{rango}\,\begin{pmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{pmatrix}=1$, luego $\begin{vmatrix}u_1 & u_2 \\ v_1 & v_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}u_1 & u_3 \\ v_1 & v_3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}u_2 & u_3 \\ v_2 & v_3\end{vmatrix}=0$ con lo cual, por la definición de producto vectorial, $\vec{u} \times \vec{v} \equiv \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v3\end{vmatrix} = \vec{0}$


Probemos ahora la condición suficiente. Supongamos que $\vec{u} \times \vec{v} \equiv \begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ u_1 & u_2 & u_3 \\ u_1 & u_2 & u_3 \end{vmatrix}=\vec{0}$, siendo $\vec{u} \neq \vec{0}$ y $\vec{v} \neq \vec{0}$, entonces existe $\lambda \in \mathbb{R}$ tal que $\vec{v}=\lambda\,\vec{u}$, luego $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son linealmente dependientes. $\square$