Modelización de la trayectoria rectilínea de una pelota tras el rebote sobre una superficie plana

ENUNCIADO. Sea el plano $\pi \equiv x+y+z-1=0$ y la recta $r\equiv \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{3}=z$. Una pelota en movimiento que lleva una trayectoria rectilínea rebota de forma totalmente elástica sobre una superficie plana ( representada por el plano $\pi$ ). Determínese el punto del choque con el plano y la recta que describe la trayectoria de la pelota tras su rebote.

SOLUCIÓN.
Esto es lo que vamos a hacer para determinar la recta pedida, que denotaremos por $t$:

  i) Tomar un punto $P$ de $r$ que no esté en $\pi$

  ii) Encontrar el punto de intersección de $r$ y $\pi$ ( punto en el que se produce el rebote, que denotaremos por $I$ )

  iii) Encontrar las coordenadas del punto simétrico de $P$ con respecto del punto $I$, al que llamaremos $P'$

  iv) Determinar la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por $P'$, a la que denotaremos por $s$

  v) Encontrar las coordenadas del punto de intersección de $s$ con $\pi$, al que denominaremos $J$

  vi) Encontrar las coordenadas del punto simétrico de $P'$ con respecto del plano $\pi$, al que llamaremos $P''$

  vii) La recta pedida $r'$ ha de contener los puntos $I$ y $P''$, luego conociendo éstos, ésta quedará determinada


Póngamonos a ello:

  i) Es evidente que un punto $P$ de $r$ que no esté en $\pi$ es, por ejemplo, $P(3,3,1)$

  ii) Para encontrar las coordenadas de $I$ hay que resolver el sistema de ecuaciones que conforman la del plano y las dos ecuaciones implícitas de $r$.

Las ecuaciones implícitas de $r$ son $r \equiv \left\{\begin{matrix}y=3z\\x=2z+1 \end{matrix}\right.$ luego el sistema a resolver es
$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&1\\&&y&-&3z&=&0\\x&&&-&2z&=&1 \end{matrix}\right. \overset{e_1-e_3 \rightarrow \,e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&1\\&&y&-&3z&=&0\\&&y&+&3z&=&0 \end{matrix}\right. \sim$

$\overset{e_2-e_3 \rightarrow \,e_3}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&1\\&&y&-&3z&=&0\\&&&&-6z&=&0 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&1\\&&y&&&=&0\\&&&&z&=&0 \end{matrix}\right.$ Así pues obtenemos $I(1,0,0)$

  iii) Si $P'$ es el punto simétrico de $P(3,3,1)$ con respecto al plano $\pi$ ha de cumplirse que $\overset{\rightarrow}{PP'}=2\,\overset{\rightarrow}{PI}$, luego $$(x_{P'}-x_{P},y_{P'}-y_{P},z_{P'}-z_{P})=2\,(x_{I}-x_{P},y_{I}-y_{P},z_{I}-z_{P})$$ esto es $$(x_{P'}-3,y_{P'}-3,z_{P'}-1)=2\,(1-3,0-3,0-3)$$ y por tanto $$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-3=2\cdot (1-3) \\ y_{P'}-3=2\cdot (0-3)\\ z_{P'}-1=2\cdot (0-3)\end{matrix}\right.$$ de donde deducimos fácilmente que $x_{P'}=-1$, $y_{P'}=-3$ y $z_{P'}=-5$, luego obtenemos $P'(-1,-3,-5)$

iv) Vamos a determinar ahora la recta perpendicular a $\pi\equiv x+y+z-1=0$ que pasa por $P'(-1,-3,-5)$, que es $s\equiv \dfrac{x-(-1)}{1}=\dfrac{y-(-3)}{1}=\dfrac{z-(-5)}{1}$ esto es $s\equiv x+1=y+3=z+5$, siendo unas ecuaciones implícitas de dicha recta $s \equiv \left\{\begin{matrix}x+1=y+3\\x+1=z+5\end{matrix}\right.$, esto es $s \equiv \left\{\begin{matrix}x-y=2\\x-z=4\end{matrix}\right.$


v) Encontremos ahora las coordenadas del punto de intersección $J$ de $s$ con $\pi$, para lo cual hay que resolver el sistema de ecuaciones
$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&1\\x&-&y&&&=&2\\x&&&-&z&=&4 \end{matrix}\right. \overset{e_1-e_2 \rightarrow \,e_2\,,\,e_1-e_3 \rightarrow \,e_3}{\sim}\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&1\\&&2y&+&z&=&3\\&&y&+&2z&=&-3 \end{matrix}\right.\sim$

$\overset{-2e_3+e_2 \rightarrow \,e_3}{\sim}\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&1\\&&2y&+&z&=&3\\&&&&-3z&=&9 \end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&1\\&&y&&&=&3\\&&&&z&=&-3 \end{matrix}\right.$ con lo cual obtenemos $J(1,3,-3)$

vi) Procedemos a encontrar las coordenadas del punto simétrico de $P'$ con respecto del plano $\pi$, al que llamaremos $P''$. Para ello tendremos en cuenta que $$\overset{\rightarrow}{P'P''}=2\,\overset{\rightarrow}{P'J}$$ esto es $$(x_{P''}-x_{P'},y_{P''}-y_{P'},z_{P''}-z_{P'})=2\,(x_{J}-x_{P'},y_{J}-y_{P'},z_{J}-z_{P'})$$ y poniendo las coordenadas de los puntos $$(x_{P''}-(-1),y_{P''}-(-3),z_{P''}-(-5))=2\,(1-(-1),3-(-3),-3-(-5))$$ es decir $$(x_{P''}+1,y_{P''}+3,z_{P''}+5)=(4,12,4)$$ con lo cual $x_{P''}=3$, $y_{P''}=9$ y $z_{P''}=-1$, obteniendo el punto $P''(3,9,-1)$

vii) Finalmente, podremos determinar la recta pedida ( que contiene a la semirrecta emergente ) que pasa por $P''(3,9,-1)$ y $J(1,3,-3)$. Un vector en la dirección de $r'$ es $\overset{\rightarrow}{JP''}=(3-1,9-3,-1-(-3))=(2,6,2)$ que es proporcional a $(1,3,1)$, luego tomaremos como vector director de $r$ el vector $\vec{v}:=(1,3,1)$, y teniendo en cuenta que $J$ está en dicha recta, podemos escribir una ecuación de $r'$ en forma continua $$r'\equiv \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-3}{3}=\dfrac{z-(-3)}{1}$$ esto es $$r'\equiv x-1=\dfrac{y-3}{3}=x+3$$

$\square$