Espacio euclídeo. Problemas métricos. Distancia entre dos planos paralelos

ENUNCIADO. Sean los planos paralelos $\pi\equiv x+y-z-2=0$ y $\pi'\equiv x+y-z-5=0$. Calcúlese la distancia entre ellos.

SOLUCIÓN. Escogemos un punto $P$ de $\pi'$, $P:=(3,2,0)$. Es sabido que $$d(\pi\,,\,\pi')=d(A,\pi)=\dfrac{\left| Ax_P+By_P +Cz_P+D\right|}{\left|\sqrt{A^2+B^2+C^2}\right|}$$ Entonces, como $A=1$, $B=1$, $C=-1$ y $D=-2$, encontramos $$d(\pi\,,\,\pi')=\dfrac{\left| 3\cdot 1 + 2\cdot 1 +0\cdot (-1) -2 \right|}{\left|\sqrt{1^2+1^2+(-1)^2}\right|}=\dfrac{3}{\left| \sqrt{3} \right|}=\dfrac{1}{\left| \sqrt{3} \right|}\, \text{unidades de longitud}$$

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