Un caso de incidencia de una recta y un plano

ENUNCIADO. Sea el plano $\pi \equiv x+y+z+1=0$ y la recta $r\equiv \left\{\begin{matrix}x&=&2+\lambda \\ y&=&\lambda \\ z&=&1-\lambda\end{matrix}\right.$. Estúdiese la incidencia de $r$ y $\pi$.

SOLUCIÓN. Un vector perpendicular a $\pi$ es $\vec{n}=(A,B,C)=(1,1,1)$. Por otra parte, de las ecuaciones paramétricas de $r$, vemos que un vector que tiene la dirección que dicha recta es $\vec{u}=(1,1,-1)$. Veamos ahora si el producto escalar $\langle \vec{n}\,,\,\vec{r}\rangle$ es nulo, pues de serlo significaría que la recta y el plano son paralelos; calculémoslo: $\langle \vec{n}\,,\,\vec{r}\rangle = \langle (1,1,1)\,,\,(1,1,-1)\rangle=1\cdot 1 +1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1)=1\neq 0$, luego $r$ y $\pi$ no son paralelos, luego son secantes.

Vamos a calcular el punto de intersección $P = \pi \cap r$. Sus coordenadas han de ser la solución del sistema compatible determinado formado por la ecuación general del plano $$x+y+z+1=0 \quad \quad (1)$$ y las dos ecuaciones implícitas de la recta, que procedemos a determinar a continuación: de $r\equiv \left\{\begin{matrix}x&=&2+\lambda \\ y&=&\lambda \\ z&=&1-\lambda\end{matrix}\right.$ podemos escribir que $r\equiv \left\{\begin{matrix}x-2&=&\lambda \\ y-0&=&\lambda \\ z-1&=&-\lambda\end{matrix}\right.$ por tanto $$\text{rango}\begin{pmatrix}x-2 & 1 \\ y-0 & 1 \\ z-1 & -1\end{pmatrix}=1$$ con lo qual los menores de orden $2$ han de ser nulos $$\begin{vmatrix}x-2 & 1 \\ y-0 & 1\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow x-2-y=0 \quad \quad (2)$$ y $$\begin{vmatrix}x-0 & 1 \\ z-1 & -1\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow -y-z+1=0 \quad \quad (3)$$ Entonces, de (1), (2) y (3) formamos el sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&-1 \\ x&-&y&&&=&2 \\ &&y&+&z&=&-1\end{matrix}\right. \overset{e_1-e_2 \rightarrow\, e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&-1 \\ &&2y&+&z&=&-3 \\ &&y&+&z&=&-1\end{matrix}\right. \overset{-2\,e_3+e_2 \rightarrow \,e_3}{\sim}$$
$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&y&+&z&=&-1 \\ &&2y&+&z&=&-3 \\ &&&&-z&=&-1\end{matrix}\right.$ con lo cual, de la tercera ecuación, obtenemos $z=1$; sustituyendo este resultado en la segunda, encontramos que $y=-2$; y, sustituyendo estos dos en la primera, obtenemos $x=0$. Así pues el punto de intersección de la recta y el plano es $P(1,-2,0)$
$\square$