Espacio euclídeo. Cálculo del volumen de un tetraedro. Perpendicularidad.

ENUNCIADO. Considérense los puntos $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(0,1,0)$ y $D(0,0,1)$. Se pide:
a) Calcúlese el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$
b) Investíguese si la recta $r$ que pasa por $A$ y por el baricentro del triángulo $\triangle\{B\,C\,D\}$ es perpendicular al plano que contiene a los puntos $B,C$ y $D$.

SOLUCIÓN.

a)
Sabemos que para un tetraedro $$\text{Volumen}=\dfrac{1}{6}\,\left|\,\left[\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC},\overset{\rightarrow}{AD}\right] \,\right| \quad \quad (1)$$

Y conociendo $\overset{\rightarrow}{AB}=(1-0,0-0,0-0)=(1,0,0)$, $\overset{\rightarrow}{AC}=(0-0,1-0,0-0)=(0,1,0)$ y $\overset{\rightarrow}{AD}=(0-0,0-0,1-0)=(0,0,1)$, y teniendo en cuenta que podemos calcular el producto mixto $\left|\,\left[\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC},\overset{\rightarrow}{AD}\right] \,\right|$ como $$\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}=1$$ encontramos que el volumen pedido ( sustituyendo en (1) ) es $$\text{Volumen}=\dfrac{1}{6} \cdot \left| 1 \right| = \dfrac{1}{6}\,\text{unidades de volumen}$$

b)
Denotemos por $\pi$ al plano que contiene a los puntos $B,C$ y $D$, y por tanto al triángulo $\triangle\{B\,C\,D\}$. Sabemos que la recta $r$ es perpendicular a $\pi$ si y sólo si el vector característico del plano $\pi$, al que llamaremos $\vec{n}$, tiene la misma dirección que un vector en la dirección de $r$ ( al que llamaremos $\vec{u}$ ).

Procedemos a determinar la ecuación general del plano $\pi$, extrayendo de ella el vector característico del plano $\vec{n}$. Dos vectores de $\pi$ son $\overset{\rightarrow}{BC}=(0-1,1-0,0-0)=(-1,1,0)$ y $\overset{\rightarrow}{BD}=(0-1,0-0,1-0)=(-1,0,1)$, luego un vector perpendicular a ambos vectores, y por tanto perpendicular al plano $\pi$, viene dado por $\vec{n}:=\overset{\rightarrow}{BC} \times \overset{\rightarrow}{BD}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-1&1&0\\-1&0&1\end{vmatrix}=\vec{i}+\vec{j}+\vec{k}=(1,1,1)$

Vamos ahora a determinar la ecuación de la recta $r$, extrayendo de ella un vector $\vec{u}$ que tenga la dirección de la misma. Dicha recta pasa por $A(0,0,0)$ y por $G$ ( baricentro de $\triangle\{B\,C\,D\}$ ), cuyas coordenadas son $G\left(\dfrac{x_B+x_C+x_D}{3},\dfrac{y_B+y_C+y_D}{3},\dfrac{z_B+z_C+z_D}{3}\right)=(1/3,1/3/1/3)$, entonces $\vec{u}:=\overset{\rightarrow}{AG}=(1/3-0,1/3-0,1/3-0)=(1/3,1/3,1/3)$

Es evidente que el vector en la dirección de la recta $r$, $\vec{u}=(1/3,1/3,1/3)$, tiene la misma dirección que el vector característico del plano $\pi$, $\vec{n}=(1,1,1)$, ya que $\vec{n}=3\,\vec{u}$, por lo que concluimos que $r$ es perpendicular a $\pi$.

$\square$