Determínese la ecuación de un plano que contiene a un punto dado y que es paralelo a una recta dada y perpendicular a otro plano que también nos viene dado

ENUNCIADO. Determínese la ecuación de un plano $\pi$ de que cumpla las siguientes condiciones:
i) Contiene al punto $P(1,0,-1)$
ii) Es perpendicular al plano $\pi'\equiv x-y+2z+1=0$
iii) Es paralelo a la recta $r\equiv \left\{\begin{matrix}x-2y=0 \\ z=0\end{matrix}\right.$

SOLUCIÓN.
El plano pedido viene determinado por $(\vec{n},P)$, donde $\vec{n}$ es un vector en la dirección perpendicular a dicho plano y $P$ está en $\pi$. Conocemos las coordenadas de un punto que está en $\pi$, $P(1,0,-1)$, pero no conocemos directamente las coordenadas de $\vec{n}$; procedamos pues a determinar $\vec{n}$:

Sabemos que si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son dos vectores paralelos a $\pi$, entonces $\vec{u} \times \vec{v}$ es un vector perpendicular a $\pi$, con lo cual tomaremos $\vec{n}:=\vec{u} \times \vec {v} \quad \quad (1)$


El vector característico de $\pi'\equiv x-y+2z+1=0$, cuyas coordenadas son $(1,-1,2)$, es perpendicular a $\pi'$, luego es paralelo a $\pi$, por tanto tomaremos $\vec{v}:=(1,-1,2)$


Por otra parte, las ecuaciones implícitas de $r$ forman un sistema compatible indeterminado con una variable secundaria $\left\{\begin{matrix}x-2y=0 \\ z=0\end{matrix}\right.$. Eligiendo $y$ como variable secundaria, $y=\lambda$, escribimos las ecuaciones paramétricas de dicha recta, $r \equiv \left\{\begin{matrix}x=2\,\lambda \\ y=\lambda \\z=0\end{matrix}\right.$, con lo cual podemos decir que $\left\{\begin{matrix}x-0=2\,\lambda \\ y-0=1\cdot \lambda \\ z-0=0\cdot \lambda\end{matrix}\right.$, en consecuencia un vector de la dirección de $r$, y por tanto también paralelo a $\pi$, tiene por coordenadas $(2,1,0)$; así pues tomamos $\vec{u}:=(2,1,0)$


Ahora, de (1), el vector característico de $\pi$ es
$\vec{n}=\begin{vmatrix}\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1 & 0 \\ -1 & 2\end{vmatrix}\,\vec{i}-\begin{vmatrix}2 & 0 \\ 1 & 2\end{vmatrix}\,\vec{j}+\begin{vmatrix}2 & 1 \\ 1 & -1\end{vmatrix}\,\vec{k}=2\,\vec{i}-4\,\vec{j}-3\,\vec{k}=(2,-4,-3)$
con lo cual la ecuación general del plano pedido es $\pi\equiv 2\,x-4\,y-3\,z+D=0$, en la que sólo falta por determinar el valor del coeficiente $D$; para ello, imponemos la condición $P(1,0,-1) \in \pi$, luego $$2\cdot 1-4\cdot 0 -3\cdot (-1)+D =0 \Leftrightarrow D=-4$$ Así pues $\pi\equiv 2\,x-4\,y-3\,z-5=0$

$\square$