Rectas secantes en el espacio

ENUNCIADO. Determínese el valor de $k$ para que las rectas $r\equiv \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z+1}{1}$ y $s\equiv \dfrac{x-k}{-1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{4}$ sean secantes.

SOLUCIÓN. Un punto de $r$ es $A(1,0,-1)$ y un punto de $s$ es $B(k,-1,0)$, luego un vector de $r$ a $s$ es $\overset{\rightarrow}{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_a)=(a-1,-1,1)$; por otra parte, un vector con la dirección de $r$ es $\vec{u}=(2,3,1)$ y un vector con la dirección de $s$, $\vec{v}=(-1,2,4)$

Entonces, las rectas $r$ y $s$ son secantes si $\text{rango}(\{\overset{\rightarrow}{AB},\vec{u},\vec{v}\})=\text{rango}(\{\vec{u},\vec{v}\})=2$. Imponiendo esta condición, $$\text{rango}\begin{pmatrix}k-1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 4\end{pmatrix}=\text{rango}\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 4\end{pmatrix}=2 \Leftrightarrow \begin{vmatrix}k-1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 4\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow$$
    $\Leftrightarrow 10\,(k-1)+10=0 \Leftrightarrow k=-\dfrac{3}{5}$
$\square$