Haz de planos de arista una recta dada

Consideremos una recta $r$, entonces el conjunto de planos que se intersecan en $r$ se denomina haz de planos de arista $r$. Supongamos dos de esos planos, esto es $\pi\equiv Ax+By+Cz+D=0$ y $\pi'\equiv A'x+B'y+C'z+D'=0$ tales que $\text{rango}\left(\begin{array}{ccc|c}A&B&C&-D \\ A'&B'&C'&-D' \end{array}\right)=2$, entonces para $m$ y $n$ no simultáneamente nulos, se tiene que $m\,(Ax+By+Cz+D)+n\,(A'x+B'y+C'z+D')=0$ ( ecuación del haz de planos de arista $r$ ).

Notemos que si $n=0$, obtenemos en particular la ecuación del plano $\pi$ ( y si $m=0$, obtenemos la de $\pi'$ ); excluyendo el plano $\pi$ ( el valor $0$ de $n$ ), haciendo $k:=\dfrac{m}{n}$, podemos expresar cualquier otro plano del haz mediante la expresión $$k\,(Ax+By+Cz+D)+A'x+B'y+C'z+D'=0$$

Observación: También podemos decir que $(m\,A+n\,A')\,x+(m\,B+n\,B')\,y+(m\,C+n\,C')\,z+m\,D+n\,D'=0$ es la ecuación general de un plano cualquiera de los planos de dicho haz.

Ejemplo
ENUNCIADO. Sea $\mathcal{H}$ un haz de planos de arista $r \equiv (x,y,z)=(1,1,1)+\lambda\,(1,2,3)$ ( ecuación vectorial de $r$ ). Determínese la ecuación del plano del haz que contiene al punto $P(0,1,1)$

SOLUCIÓN. Calculemos las ecuaciones implícitas de $r$. De la ecuación vectorial de $r$ podemos escribir las ecuaciones paramétricas $$r\equiv \left\{\begin{matrix}x=1+\lambda \\ y=1+2\,\lambda \\ z=1+3\,\lambda\end{matrix}\right.$$ luego $$r\equiv \left\{\begin{matrix}x-1=\lambda \\ y-1=2\,\lambda \\ z-1=3\,\lambda\end{matrix}\right.$$ y por tanto, al tratarse de un sistema compatible determinado con una incógnita ( el parámetro ) deberá cumplirse que $$\text{rango}\left(\begin{array}{c|c}1 & x-1 \\ 2 & y-1 \\ 3 & z-1 \end{array}\right)=1$$ en consecuencia $$\begin{vmatrix}1 & x-1 \\ 2 & y-1\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow 2x-y-1=0$$ y
$$\begin{vmatrix}1 & x-1 \\ 3 & z-1\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow 3x-z-2=0$$ Así pues $$r \equiv \left\{\begin{matrix}2x-y-1=0 \\ 3x-z-2=0\end{matrix}\right.$$ siendo éstas las ecuaciones de dos de los planos del haz $\mathcal{H}$ por consiguiente la ecuación del haz de planos es $m\,(2x-y-1)+n(3x-z-2)=0$, y, descartando el plano $\pi \equiv 2x-y-1=0$ ( $n:=0$ ) y, poniendo $\lambda:=\dfrac{m}{n}$, podemos decir que el resto de planos del haz cumplen la ecuación $$\lambda\,(2x-y-1)+(3x-z-2)=0$$ ;

Calculemos ahora el valor de $\lambda$ para que $P(0,1,1)$ forme parte del haz, y por tanto de uno de sus planos; entonces sus coordenadas han de satisfacer la ecuación del haz: $$\lambda \cdot ((2\cdot 0 -1-1)+(3\cdot 0-1-2)=0 \Rightarrow \lambda = -\dfrac{3}{2}$$ por tanto el plano $\pi_P$ al cual pertenece $P$ tiene por ecuación general $$\pi_P \equiv -\dfrac{3}{2}\,(2x-y-1)+(3x-z-2)=0$$ esto es $$\pi_P \equiv 3y - 2z -1 = 0$$

$\square$