ENUNCIADO. Un cierto cuadrilátero tiene por vértices los puntos A(1,-2,2), B(1,4,0), C(-4,1,1) y D(-5,-5,3). Demuéstrese que las diagonales AC y BD son perpendiculares entre sí.
SOLUCIÓN. Calculemos los vectores sobre cada una de las dos diagonales:
\overset{\rightarrow}{AC}=(-4-1,1-(-2),1-2)=(-5,3,-1)
\overset{\rightarrow}{BD}=(-5-1,-5-4,3-0)=(-6,-9,3)
Veamos ahora si el producto escalar de estos dos vectores es nulo; si es así, habremos demostrado que son ortogonales y por tanto que las diagonales referidas lo son. En efecto,
\langle \overset{\rightarrow}{AC}\,,\,\overset{\rightarrow}{BD} \rangle =\langle (-5,3,-1),(-6,-9,3)\rangle =
=-5\cdot (-6)+3\cdot (-9)+(-1)\cdot 3=0 \Rightarrow \overset{\rightarrow}{AC} \perp \overset{\rightarrow}{BD}
\square
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