Matrices escalonadas reducidas

Matrices equivalentes por filas:
Dos matrices $A$ y $B$ son matrices equivalentes por filas y lo notaremos por $A \sim_f B$ o $B \sim_f A $ si se puede transformar la una en la otra mediante operaciones elementales por filas, que pueden ser cualesquiera de las siguientes:
  1) intercambio de dos filas
  2) multiplicación de todos los elementos de una fila por un escalar no nulo
  3) suma de una fila por otra multiplicada por un escalar

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Matrices escalonadas:
Una matriz $A$ es escalonada reducida por filas si:
  i) las filas compuestas enteramente por ceros están agrupadas den la parte inferior de la matriz
  ii) el pivote de cada fila no nula es $1$
  iii) el pivote de cada fila no nula está a la derecha del pivote de la fila anterior
  iv) los elementos que aparecen en la misma columna que el pivote de una fila y debajo de éste son nulos

Llamamos matriz escalonada por Gauss a la matriz escalonada por filas que obtenemos al aplicar a una matriz $A$ las operaciones elementales por filas convenientes.

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Matrices escalonadas reducidas por filas:
Una matriz es escalonada reducida si es escalonada y, además, si es tal que
  v) los elementos que aparecen en la misma columna que el pivote de una fila son todos nulos

Ejemplos:
a) $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}$, b) $\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 7\\ 0 & 1 & 1 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$, c) $\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 5\\ 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$

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Propiedades:
1. Si $A$ y $B$ son dos matrices reducidas por filas y dichas matrices son también equivalentes por filas $A \sim_f B$ o $B \sim_f A$, entonces diremos que $A=B$

2. Cada matriz es equivalente por filas a una única matriz escalonada reducida por filas, a la que llamamos forma normal de Hermite. A esta matriz, que es única, se llega por medio de operaciones elementales por filas, si bien pueden seguirse caminos distintos.

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Aplicación:

En los sistemas de ecuaciones lineales, mediante la siguiente propiedad, podemos averiguar los rangos de las matrices $A$ y $(A|B)$ encontrando la forma de Hermite de las mismas. Véanse los siguientes [ejemplos].

3. Dado un sistema de ecuaciones lineales, $AX=B$, con matriz ampliada $(A|B)$, siendo $H$ la forma normal de Hermite para dicha matriz, entonces el sistema cuya matriz ampliada es $H$ es un sistema escalonado reducido equivalente ( en rango y solución ) al de partida. El siguiente ejemplo ilustra el proceso de análisis y resolución ( si procede ) de un sistema de ecuaciones lineales, empleando la matriz escalonada reducida del sistema ( o forma normal de Hermite ).


Observación importante: Lo mismo podemos decir si reducimos la matriz $(A|B)$ por Gauss, escalonándola simplemente ( no hace falta que sea escalonada reducida ): el rango de ésta es equivalente a la matriz $(A|B)$ y el sistema cuya matriz ampliada es la matriz reducida por Gauss de $(A|B)$ es un sistema reducido por Gauss equivalente ( en rango y solución ) al original.

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