Recta proyección de una recta dada sobre un cierto plano

ENUNCIADO. Sea la recta $r\equiv x=y-1=-z$, determínese la ecuación de la recta $r'$ que resulta de proyectar perpendicularmente $r$ sobre el plano $\pi \equiv x-y+z-1=0$

SOLUCIÓN. Recordemos que la ecuación de la recta $r'=\text{proy}|_{\pi}(r)$ queda determinada por un punto y un vector en la dirección de la misma, esto es, por dos puntos de dicha recta $r'$; uno de ellos puede ser el punto de intersección de la recta $r$ y el plano $\pi$, y, el otro punto es el punto de intersección con el plano $\pi$ (sobre el que se realiza la proyección) con la recta perpendicular a dicho plano que pasa por un punto $P$ de $r$.

El punto $I$ de intersección de $r$ y $\pi$ viene dado por $\left\{\begin{matrix}x-y+z=1 \\ x=y-1 \\ x=-z\end{matrix}\right.$ siendo las dos últimas ecuaciones las e. implícitas de $r$ y la primera la e. del plano. La solución de este sistema de ecuaciones lineales es $\left\{\begin{matrix}x=-2\\y=-1\\z=2\end{matrix}\right.$ luego $I(-2,-1,2)$


Procedemos ahora a calcular otro punto de $r'$, como es el $P'=\text{proy}|_{\pi}(P)$, siendo $P$ un punto de $r$. De las e. implícitas de $r$, $\left\{\begin{matrix}x=y-1\\x=-z\end{matrix}\right.$, tomando $z:=0$, $x=0$ e $y=1$, luego un punto de dicha recta $r$ es $P(0,1,0)$. Un vector que tiene la dirección de la recta $s$ que pasa por dicho punto y es perpendicular a $\pi$ es el vector característico de ese plano, $\vec{n}=(1,-1,1)$, luego $s\equiv (x,y,z)=(0,1,0)+\lambda\,(1,-1,1)$, de donde podemos escribir las ecuaciones paramétricas $s\equiv \left\{\begin{matrix}x=\lambda\\y=1-\lambda\\z=\lambda\end{matrix}\right.$ y de éstas, la e. en forma continua $s\equiv x=\dfrac{y-1}{-1}=z$; así que las e. implícitas son $s\equiv \left\{\begin{matrix}x+y=1\\ x-z=0\end{matrix}\right.$. El punto $P'$ que estamos buscando es la intersección de $s$ y $\pi$, luego sus coordenadas son la solución del sistema de ecuaciones lineales $\left\{\begin{matrix}x-y+z=1\\x+y=1\\x-z=0\end{matrix}\right.$ esto es $\left\{\begin{matrix}x=0\\y=0\\z=1\end{matrix}\right.$, luego $P'(0,0,1)$

Un vector que tiene la dirección de $r'$ es $\overset{\rightarrow}{IP'}=(0-(-2),0-(-1),1-2)=(2,1,-1)$, luego la ecuación vectorial de $r'=\text{proy}|_{\pi}(r)$ es $r'\equiv (x,y,z)=(0,0,1)+\mu\,(2,1,-1)$ y las e. paramétricas son $\left\{\begin{matrix}x=2\,\mu\\ y=\mu\\ z=1-\mu\end{matrix}\right.$ de donde obtenemos la e. en forma continua, $r'\equiv \dfrac{x}{2}=y=\dfrac{z-1}{-1}$

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