Espacio euclídeo. Problemas métricos. Incidencias de rectas. Área de un triángulo

ENUNCIADO. Sean las rectas secantes $r \equiv \left\{\begin{matrix}x-y=1\\ z=0\end{matrix}\right.$ y $s\equiv \left\{\begin{matrix}x=1-\lambda \\ y = \lambda\\ z=0\end{matrix}\right.$ y considérense los puntos $B(0,1,0)$ y $C(0,0,1)$, Calcúlese el área del triángulo $\triangle\{ABC\}$, siend $A$ el punto de intersección de $r$ y $s$

SOLUCIÓN. Encontremos las ecuaciones implícitas de $s$; de las ecuaciones paramétricas de $s$ $$\left\{\begin{matrix}x=1-\lambda \\ y = \lambda\\ z=0\end{matrix}\right.$$ podemos escribir $$\left\{\begin{matrix}x-1=-\lambda \\ y = \lambda\\ z=0\end{matrix}\right.$$ entendiendo ésto como un sistema ecuaciones compatible determinado con una sóla incógnita, que es el parámetro $\lambda$ ( que podríamos determinar, si fijásemos $x$ e $y$ ), de manera que $$\text{rango}\begin{pmatrix}x-1 & -1 \\ y & 1 \\ z & 0\end{pmatrix}=1$$ y por tanto los menores de orden $2$ han de ser nulos:

$$\begin{vmatrix}x-1 & -1 \\ y & 1 \end{vmatrix}=x-1+y=0$$ y $$\begin{vmatrix}y & 1 \\ z & 0 \end{vmatrix}=-z=0$$ Así pues $$s\equiv \left\{\begin{matrix}x+y=1 \\ z=0\end{matrix}\right.$$ Entonces las coordenadas del punto de intersección de $r$ y $s$ son solución del sistema de ecuaciones lineales formado por las ecuaciones implícitas de las dos rectas $$\left\{\begin{matrix}x-y=1 \\ x+y=1 \\ z=0\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x-y=1 \\ 2x=2 \\ z=0\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}y=0 \\ x=1 \\ z=0\end{matrix}\right.$$ por lo que el punto pedido es $A(1,0,0)$

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Procedemos ahora a calcular el área del triángulo $\triangle\{ABC\}$. Es bien sabido que $$\text{Área}=\dfrac{1}{2}\,\left\| \overset{\rightarrow}{AB} \times \overset{\rightarrow}{AC} \right\| \quad \quad (1)$$ siendo $\overset{\rightarrow}{AB}=(0-1,1-0,0-0)=(-1,1,0)$ y $\overset{\rightarrow}{AC}=(0-1,0-0,1-0)=(-1,0,1)$

Calculando el producto vectorial $(-1,1,0) \times (-1,0,1) = \begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{vmatrix}=\vec{i}+ \vec{j} + \vec{k}=(1,1,1)$
y el módulo de dicho vector $$\left\|(1,1,1)\right\|=\left|\sqrt{1^2+1^2+1^2}\right|=\left| \sqrt{3} \right|$$ luego, de (1), encontramos $$\text{Área}=\dfrac{\left| \sqrt{3} \right|}{2} \; \text{unidades de área}$$
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