Incidencia de rectas en el espacio. Ejemplo de rectas que se cruzan

ENUNCIADO. Sean las rectas $r\equiv x-1=\dfrac{y+1}{2}=z$ y $s \equiv \dfrac{x+1}{-1}=y=z$ Investíguese la incidencia

SOLUCIÓN.
Un vector $\vec{u}$ de $r$ es $\vec{u}=(1,2,1)$ y un punto $P$ de dicha recta es $P(1,-1,0)$
Un vector $\vec{v}$ de $r$ es $\vec{v}=(-1,1,1)$ y un punto $Q$ de dicha recta es $Q(-1,0,0)$
El vector que desde $P$ ( de la recta $r$ ) que apunta a $Q$ ( de la recta $s$ ) es $\overset{\rightarrow}{PQ}=(-1-1,0-(-1),0-0)=(-2,1,0)$

Examinemos el rango de $\{\overset{\rightarrow}{PQ},\vec{u},\vec{v}\}$:

  $\text{rango}(\{\overset{\rightarrow}{PQ},\vec{u},\vec{v}\})=\text{rango}\,\begin{pmatrix}-2&1&0 \\ 1&2&1 \\ -1&1&1\end{pmatrix}=3$, luego al ser los tres vectores independientes, las rectas $r$ y $s$ se cruzan. $\square$

Incidencia de rectas en el espacio. Rectas que se cruzan pero que no se cortan.

ENUNCIADO. Sean las rectas $$r \equiv \left\{\begin{matrix}x&=&1&+&\lambda \\ y&=&-1&+&2\,\lambda\\ z&=&&&\lambda\end{matrix}\right.$$ y $$s \equiv \left\{\begin{matrix}x&=&3&-&\lambda \\ y&=&1&-&\lambda\\ z&=&1&+&4\,\lambda\end{matrix}\right.$$ Investíguese la incidencia de las mismas

SOLUCIÓN. Seguiremos los pasos que expliqué en [este otro artículo]. Un punto $A$ de $r$ es $A(1,-1,0)$, y un punto $B$ de $s$ es $B(3,1,1)$, luego que desde $A$ apunta a $B$ es $\overset{\rightarrow}{AB}=(3-1.1-(-1),1-0)=(2,2,1)$. Por otra parte, un vector en la dirección de $r$ es $\vec{u}=(1,2,1)$ y un vector en la dirección de $s$ es $\vec{v}=(-1,-1,4)$. Procedemos al análisis de rangos:
$\text{rango}(\{\overset{\rightarrow}{AB},\vec{u},\vec{v}\})=\text{rango}\begin{pmatrix}2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1&-1& 4\end{pmatrix}\overset{\text{reducción por Gauss}}{=}$

$\overset{e_2+e_3 \rightarrow e_3 \; -2\,;\,e_2+e_1 \rightarrow e_2}{=}\text{rango}\begin{pmatrix}2 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0&1& 5\end{pmatrix}=\overset{2\,e_3 +e_2 \rightarrow e_3}{=}\text{rango}\begin{pmatrix}2 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0&0& 9\end{pmatrix}=3$ por lo tanto los tres vectores son independientes, con lo cual $r$ y $s$ no están en el mismo plano, luego éstas se cruzan pero no se cortan.
$\square$