Incidencia de rectas y planos en el espacio afín

En este artículo trataremos las relaciones de incidencia de rectas y planos en el espacio afín tridimensional.

Posiciones relativas de dos rectas $r$ y $s$ en el espacio:
Sean $\vec{u}$ un vector director de $r$ y $\vec{v}$ un vector director de $s$; sea $A(x_A,y_A;z_A)$ un punto de $r$ y $B(x_A,y_B,z_B)$ un punto de $s$. Estudiaremos la incidencia de $r$ y $s$ analizando el rango del sistema de vectores $\{\overset{\rightarrow}{AB},\vec{u},\vec{v}\}$. Entonces:

i) Si $\text{rango}(\{\overset{\rightarrow}{AB},\vec{u},\vec{v}\})=1$, entonces $r$ y $s$ son coincidentes. [Ejemplo]

ii) Si $\text{rango}(\{\overset{\rightarrow}{AB},\vec{u},\vec{v}\})=2$, pueden darse dos casos:
    a) si los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ no son independientes, entonces $r$ y $s$ son paralelas. [Ejemplo].
    b) si $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son independientes, entonces $r$ y $s$ se cortan ( son secantes ) y por tanto tienen un punto en común [Ejemplo].

iii) Si $\text{rango}(\{\overset{\rightarrow}{AB},\vec{u},\vec{v}\})=3$, los tres vectores son independientes y por tanto $r$ y $s$ no están en el mismo plano, luego éstas se cruzan pero no se cortan [Ejemplo].

Posiciones relativas de una recta $r$ y un plano $\pi$ en el espacio:
Sean $\vec{u}$ un vector director de $r$ y $\vec{n}=(A,B,C)$ un vector perpendicular a $\pi$. Estudiaremos la incidencia de $r$ y $\pi$, empleando el producto escalar $\langle \vec{u} \,,\,\vec{n}\rangle$. Entonces:

i) Si $\langle \vec{u} \,,\,\vec{n}\rangle=0$ ( $ r$ es perpendicular a $\pi$ ), pueden presentarse dos casos:
    a) si $A$ está contenido en el plano $\pi$, entonces $r$ está contenida en el plano $\pi$   [Ejemplo]
    b) si $A$ no está contenido en $\pi$, entonces $r$ es paralela al plano $\pi$   [Ejemplo]

ii) Si $\langle \vec{u} \,,\,\vec{n}\rangle \neq 0$, entonces $r$ no es perpendicular a $\pi$ y por tanto la recta $r$ y el plano $\pi$ son secantes. Ejemplos: [1|2]

Posiciones relativas de dos planos $\pi$ y $\pi'$ en el espacio:
Sean $\pi\equiv Ax+By+Cz+D=0$ y $\pi'\equiv A'x+B'y+C'z+D'=0$. Vamos a estudiar la incidencia a partir del análisis de rango de la matriz de los coeficientes del sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}Ax+By+Cz+D=0 \\ A'x+B'y+C'z+D'=0 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}Ax+By+Cz=-D \\ A'x+B'y+C'z=-D' \end{matrix}\right. $$
Así:

i) Si $\text{rango}\left(\begin{array}{ccc|c}A&B&C&-D \\ A'&B'&C'&-D'\end{array}\right)=\text{rango}\begin{pmatrix}A&B&C \\ A'&B'&C'\end{pmatrix}=2$, entonces por el teorema de Rouché-Fröbenius el sistema es compatible indeterminado con $3-2=1$ variable secundaria ( $1$ parámetro ) y por tanto los planos $\pi$ y $\pi'$ son secantes y se cortan en una recta

Nota: En estas condiciones, se tiene que $$\dfrac{A}{A'}\neq \dfrac{B}{B'} \; \text{o bien}\; \dfrac{C}{C'}\neq\dfrac{D}{D'}$$

ii) Si $\text{rango}\left(\begin{array}{ccc|c}A&B&C&-D \\ A'&B'&C'&-D'\end{array}\right)=\text{rango}\begin{pmatrix}A&B&C \\ A'&B'&C'\end{pmatrix}=1$, entonces por el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado con $3-1=2$ variables secundarias ( $2$ parámetros ) y por tanto los planos $\pi$ y $\pi'$ son paralelos y coincidentes.

Nota: En estas condiciones, se tiene que $$\dfrac{A}{A'}=\dfrac{B}{B'}=\dfrac{C}{C'}=\dfrac{D}{D'}$$

iii) Si $\text{rango}\left(\begin{array}{ccc|c}A&B&C&-D \\ A'&B'&C'&-D'\end{array}\right)=3$ y $\text{rango}\begin{pmatrix}A&B&C \\ A'&B'&C'\end{pmatrix}=1$, entonces por el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es incompatible, luego al no haber puntos en común entre $\pi$ y $\pi'$, éstos son paralelos y no-coincidentes

Nota: En estas condiciones, se tiene que $$\dfrac{A}{A'}=\dfrac{B}{B'}=\dfrac{C}{C'}\neq \dfrac{D}{D'}$$


Posiciones relativas de tres planos $\pi$, $\pi'$ y $\pi''$ en el espacio:
Sean $\pi\equiv Ax+By+Cz+D=0$, $\pi'\equiv A'x+B'y+C'z+D'=0$ y $\pi''\equiv A''x+B''y+C''z+D''=0$. Vamos a estudiar la incidencia a partir del análisis de rango de la matriz de los coeficientes del sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}Ax&+&By&+&Cz&+&D&=&0 \\ A'x&+&B'y&+&C'z&+&D'&=&0 \\ A''x&+&B''y&+&C''z&+&D''&=&0 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}Ax&+&By&+&Cz&=-D \\ A'x&+&B'y&+&C'z&=-D' \\ A''x&+&B''y&+&C''z&=-D'' \end{matrix}\right.$$
Así:

i) Si $\text{rango}\left(\begin{array}{ccc|c}A&B&C&-D \\ A'&B'&C'&-D' \\ A''&B''&C''&-D''\end{array}\right)=\text{rango}\begin{pmatrix}A&B&C \\ A'&B'&C' \\ A''&B''&C''\end{pmatrix}=3$, entonces, por el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible determinado y por tanto los planos $\pi$\,$\pi'$ y $\pi''$ se cortan en un punto.

ii) Si $\text{rango}\left(\begin{array}{ccc|c}A&B&C&-D \\ A'&B'&C'&-D' \\ A''&B''&C''&-D''\end{array}\right)=\text{rango}\begin{pmatrix}A&B&C \\ A'&B'&C' \\ A''&B''&C''\end{pmatrix}=2$, entonces, por el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado con $3-2=1$ variable secundaria, luego los tres planos se cortan en una recta, pudiéndose dar los siguientes casos:
    a) Si todos los coeficientes de las variables no son proporcionales, los tres planos son distintos, y por tanto los tres planos pertenecen a un haz de planos que se cortan en una recta
    b) Si los coeficientes de dos de los planos son proporcionales ( dos planos coincidentes ) y los del tercero no, entonces dos de los planos son coincidentes y el restante es secante a esos dos.

iii) Si $\text{rango}\left(\begin{array}{ccc|c}A&B&C&-D \\ A'&B'&C'&-D' \\ A''&B''&C''&-D''\end{array}\right)=\text{rango}\begin{pmatrix}A&B&C \\ A'&B'&C' \\ A''&B''&C''\end{pmatrix}=1$, entonces, por el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es compatible indeterminado con $3-1=2$ variables secundarias, luego los tres planos son coincidentes.

iv) Si $\text{rango}\left(\begin{array}{ccc|c}A&B&C&-D \\ A'&B'&C'&-D' \\ A''&B''&C''&-D''\end{array}\right)=2$ y $\text{rango}\begin{pmatrix}A&B&C \\ A'&B'&C' \\ A''&B''&C''\end{pmatrix}=1$, entonces, por el teorema de Rouché-Fröbenius, el sistema es incompatible, pudiéndose dar los siguientes casos:
    a) Si todos los coeficientes de las variables de los tres planos son proporcionales, y no lo son con los términos independientes, entonces los tres planos son paralelos, perteneciendo éstos a un haz de planos paralelos.
    b) Si todos los coeficientes de las variables de dos planos son proporcionales, y no lo son con los términos independientes del tercero, entonces dos planos son coincidentes y el tercer es paralelo a esos dos.

$\square$