Plano determinado por una recta y un punto exterior a ella

ENUNCIADO. Determínese la ecuación del plano $\pi$ determinado por la recta
$r \equiv \left\{\begin{matrix}x=1+2\,\lambda \\ y=\lambda \\ z=3\,\lambda \end{matrix}\right.$ y el punto exterior $A(1,1,1)$
SOLUCIÓN.
Otros dos puntos del plano $\pi$ que contiene a $r$ y a $A$ son $B(1,0,0)$ ( con $\lambda:=0$ ) y $C(3,1,3)$ ( con $\lambda:=1$ ) con lo cual el problema se reduce a encontrar el plano que contiene a los puntos $A$, $B$ y $C$; y, como ya hemos hecho en otras ocasiones ( véase este artículo ), podemos escribir:
$$\pi \equiv \begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & x \\ 0 & 1 & 1 & y\\ 0 & 3 & 1 & z\end{vmatrix}=0$$ Desarrollando el determinante
$$\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 & x \\ 0 & 1 & 1 & y\\ 0 & 3 & 1 & z\end{vmatrix}\overset{c_3-c_1\,\rightarrow \, c_3}{=}\begin{vmatrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 & x \\ 0 & 1 & 1 & y\\ 0 & 3 & 1 & z\end{vmatrix}\overset{c_2-c_3\,\rightarrow \, c_2}{=}\begin{vmatrix}1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 0 & x \\ 0 & 0 & 1 & y\\ 0 & 2 & 1 & z\end{vmatrix}\overset{\text{Laplace 1.ª columna}}{=}$$
$=\begin{vmatrix}3 & 0 & x \\ 0 & 1 & y \\ 2 & 1 & z \end{vmatrix}-\begin{vmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & y \\ 2 & 1 & z \end{vmatrix}=-2x-2y+2z+2$ luego $\pi \equiv -2x-2y+2z+2=0$ que es lo mismo que $$\pi \equiv x+y-z-1=0$$
$\square$