La operación producto escalar euclídeo que vamos a definir en el espacio vectorial $V$ permite calcular los módulos de los vectores y el ángulo entre dos vectores dados. Con esta nueva operación, podremos calcular la distancia entre puntos cualesquiera del espacio afín $\mathcal{A}$ asociado al espacio vectorial $V$ ( si -- tal como veremos en este artículo -- en el sistema de referencia, elegimos una base vectorial que esté formada por vectores perpendiculares unos a otros y cuya longitud sea la unidad ); por eso, hablaremos también de espació afín euclídeo $\mathcal{A}$ asociado al espacio vectorial euclídeo $V$
Producto escalar euclídeo
La siguiente situación física inspira la definición de producto escalar entre dos vectores. Imaginemos un vagón de tren parado en un tramo rectilíneo de una vía. Si tiramos de él con un fuerza $f$ ( contenida en el plano en el que se encuentra la vía ) que forma un cierto ángulo con la dirección de desplazamiento, el trabajo mecánico $W$ realizado al desplazar dicho vagón una longitud $r$ ( lógicamente, en la dirección de la vía ), si atendemos a la noción de trabajo mecánico realizado ( energía mecánica ) producido al desplazar el vagón, nos lleva a decir que el trabajo realizado = fuerza efectiva en la dirección del desplazaminto $\times$ longitud del desplazamiento , por lo que podremos escribir que $$W=f\cdot (r\cdot\cos \,\alpha)$$, siendo $\alpha$ el ángulo que forma la dirección de la fuerza aplicada con la dirección de la vía.
Teniendo en cuenta el carácter vectorial tanto de la fuerza como del vector de posición cuya longitud da el desplazamiento realizado a lo largo de la vía, podemos pulir un poco más la expresión, y diremos que el trabajo mecánico ( energía ) que interviene en el proceso es $$W=\left\|\vec{f}\right\|\cdot (\text{proyección}|_{\vec{r}}\,\vec{f})$$ esto es $$W = \left\|\vec{f}\right\|\,\left\|\vec{r}\right\|\,\cos \, \measuredangle (\vec{f},\vec{r})$$ a lo cual llamamos producto escalar de la fuerza aplicada por el vector de desplazamiento.
Tomemos pues prestada de la Física esta noción y centrémonos en las matemáticas que extraeremos a partir de la siguiente:
Definición I
El producto escalar euclídeo de dos vectores libres cualesquiera del espacio vectorial $V$ viene dado por aplicación $$\displaystyle V \times V \overset{\langle .,.\rangle}{\rightarrow} \mathbb{R}\,:\, \langle \vec{u}\,,\,\vec{v}\rangle = \left\|\vec{u}\right\|\,\left\|\vec{v}\right\|\,\cos\,\measuredangle ( \vec{u},\vec{v})$$
Y designamos por $\left\|\vec{u}\right\|$ al módulo de $\vec{u}$
Nota: Desde luego, $(\left\|\vec{u}\right\|)^2=\langle \vec{u}\,,\,\vec{u} \rangle$ ya que $\measuredangle ( \vec{u},\vec{u})=0$ y por tanto $\cos\,\measuredangle ( \vec{u},\vec{u})=1$; con lo cual, $\left\|\vec{u}\right\|=\left|\sqrt{\langle \vec{u}\,,\,\vec{u} \rangle}\right|$
Observación: Se obtiene un vector de módulo unidad ( vector unitario ) $\vec{w_u}$ a partir de un vector dado $\vec{w}$ dividiendo sus coordenadas por el módulo de dicho vector, esto es $$\vec{w_u}=(\dfrac{w_1}{\left\|w\right\|},\dfrac{w_2}{\left\|w\right\|},\dfrac{w_3}{\left\|w\right\|})$$ Llamamos normalización del vector $\vec{w}$ a dicha operación.
Ejemplo:
ENUNCIADO. Normalizar el vector $\vec{w}=(1,-1,1)$, cuyo módulo es $\left\|\vec{w}\right\|=\left|\sqrt{3}\right|$
SOLUCIÓN. $\vec{w_u}=(\dfrac{1}{\left|\sqrt{3}\right|},\dfrac{-1}{\left|\sqrt{3}\right|},\dfrac{1}{\left|\sqrt{3}\right|})$
Propiedades:
i) Conmutativa
$\langle \vec{u}\,,\,\vec{v}\rangle = \langle \vec{v}\,,\,\vec{u}\rangle$
ii) Distributiva del producto escalar con respecto de la suma de vectores
$\langle \vec{u}\,,\,\vec{v}+\vec{w}\rangle = \langle \vec{u}\,,\,\vec{v}\rangle + \langle \vec{u}\,,\,\vec{w}\rangle$
iii) Asociativa del producto por escalares con respecto del producto escalar de vectores
$\lambda \, \langle \vec{u}\,,\,\vec{v}\rangle = \langle \lambda\,\vec{u}\,,\,\vec{v}\rangle = \langle \vec{u}\,,\,\lambda\,\vec{v}\rangle$
Observaciones:
(1) $\langle \vec{u}\,,\vec{u}\rangle \ge 0$
(2) $\langle \vec{u}\,,\vec{u}\rangle =0 \Leftrightarrow \vec{u}=\vec{0}$
(3) Si $\vec{u} \neq \vec{0}$ y $\vec{v} \neq \vec{0}$, entonces $\langle \vec{u}\,,\,\vec{v}\rangle =0 \Leftrightarrow \cos\,\measuredangle (\vec{u},\vec{v} ) = 0 \Leftrightarrow \vec{u} \perp \vec{v}$ ( $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son perpendiculares )
(4) Dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$, distintos ambos de $\vec{0}$, tienen la misma dirección si y sólo si $\cos\,\measuredangle (\vec{u},\vec{v} ) = 1$
A continuación, procedemos a exponer una definición equivalente del producto escalar en la que aparezcan las coordenadas de los vectores operandos ( con respecto de cierto tipo de bases vectoriales del espacio $V$ que vamos a describir enseguida ) que será necesaria para calcular el ángulo $\measuredangle\,(\vec{u},\vec{v})$ entre dos vectores cualesquiera. Para ello, expresaremos los vectores de $V$ con respecto a una base $\mathcal{B}=\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}$ tal que los vectores de dicha basea sean perpendiculares los unos con los otros y, además, los módulos de los mismos sean igual a $1$; esto es, según la definición dada arriba: $\langle \vec{e_1},\vec{e_2}\rangle = \langle \vec{e_1},\vec{e_3}\rangle = \langle \vec{e_2},\vec{e_3}\rangle =0 $ ( ortogonales ) y $\left\|\vec{e_1}\right\|=\left\|\vec{e_2}\right\|=\left\|\vec{e_3}\right\|=1$ ( vectores unitarios ). A las bases del espacio vectorial que cumplan estos requerimientos las denominamos bases ortonormales.
Nota: En particular, a la base ortonormal del espacio $V$ de dimensión $3$ $\mathcal{B}=\{\vec{e_1}:=(1,0,0),\vec{e_2}:=(0,1,0),\vec{e_3}:=(0,0,1)\}$ la llamaremos base canónica que, en Física, suele designarse por $\mathcal{C}=\{\vec{i}=(1,0,0),\vec{j}=(0,1,0)\,\vec{k}=(0,0,1)\}$
Definición II
Sean dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ cualesquiera del espacio vectorial $V$, cuyas coordenadas con respecto a una base ortonormal $\mathcal{B}$ de $V$ son $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ y $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$, esto es $\vec{u}=u_1\,\vec{e_1}+u_2\,\vec{e_2}+u_3\,\vec{e_3}$ y $\vec{v}=v_1\,\vec{e_1}+v_2\,\vec{e_2}+v_3\,\vec{e_3}$. Entonces, el producto escalar euclídeo de estos dos vectores viene dado por
$$\displaystyle V \times V \overset{\langle .,.\rangle}{\rightarrow} \mathbb{R}\,:\, \langle \vec{u}\,,\,\vec{v}\rangle = u_1\,v_1 +u_2\,v_2 + u_3\,v_3 $$
Sean $A(x_A,y_A,z_A)$ y $B(x_B,y_B,z_B)$ dos puntos del espacio afín euclídeo $\mathcal{A}$ con sistema de referencia $\{O;\mathcal{B}=\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}\}$, siendo dicha base una base ortonormal. Entonces, la distancia euclídea entre dichos puntos viene dada por el módulo del vector $\overset{\rightarrow}{AB}$, esto es $$\text{distancia}(A,B)\equiv\left\| \overset{\rightarrow}{AB}\right\| = \left| \sqrt{ \langle \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AB} \rangle } \right|$$
Ejemplo:
ENUNCIADO. Sean los puntos $A(2,-1,2)$ y $B(1,1,1)$ del espacio afín $\mathcal{A}$ con origen en $O(0,0,0)$, habiendo tomado como base vectorial la base canónica $\mathcal{C}=\{\vec{i}=(1,0,0),\vec{j}=(0,1,0),\vec{k}=(0,0,1)\}$. Calcúlese la distancia euclídea entre $A$ y $B$.
SOLUCIÓN. El vector $\overset{\rightarrow}{AB}=\overset{\rightarrow}{OB}-\overset{\rightarrow}{OA}=(1,1,1)-(2,-1,2)=(-1,2,-1)$, luego $$\text{distancia}(A,B)\equiv\left\| \overset{\rightarrow}{AB}\right\| = \left| \sqrt{ \langle \overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AB} \rangle } \right|=\left|\sqrt{(-1)^2+2^2+(-1)^2}\right|=\left|\sqrt{6}\right|$$
Ángulo entre dos vectores:
De la equivalencia entre las dos definiciones de producto escalar se deduce que $$\cos\,\measuredangle ( \vec{u},\vec{v} ) = \dfrac{\langle \vec{u},\vec{v} \rangle}{\left\|\vec{u}\right\|\,\left\|\vec{v}\right\|}$$ y por tanto $$\measuredangle ( \vec{u},\vec{v} ) = \text{arccos}\,\dfrac{\langle \vec{u},\vec{v} \rangle}{\left\|\vec{u}\right\|\,\left\|\vec{v}\right\|}$$
Ángulos que forma un vector con los vectores de la base ortonormal:
Sea $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ con respecto a la base ortonormal $\mathcal{B}=\{\vec{e_1},\vec{e_2},\vec{e_3}\}$. Entonces:
$$\measuredangle ( \vec{u},\vec{e_1} ) = \text{arccos}\,\dfrac{\langle \vec{u},\vec{e_1} \rangle}{\left\|\vec{u}\right\|\,\left\|\vec{e_1}\right\|}=\text{arccos}\,\dfrac{u_1}{\left\|\vec{u}\right\|}$$
$$\measuredangle ( \vec{u},\vec{e_2} ) = \text{arccos}\,\dfrac{\langle \vec{u},\vec{e_2} \rangle}{\left\|\vec{u}\right\|\,\left\|\vec{e_2}\right\|}=\text{arccos}\,\dfrac{u_2}{\left\|\vec{u}\right\|}$$
$$\measuredangle ( \vec{u},\vec{e_3} ) = \text{arccos}\,\dfrac{\langle \vec{u},\vec{e_3} \rangle}{\left\|\vec{u}\right\|\,\left\|\vec{e_3}\right\|}=\text{arccos}\,\dfrac{u_3}{\left\|\vec{u}\right\|}$$
Nota: Éstos son los ángulos que forma el vector $\vec{u}$ con los ejes del sistema de referencia
Observación: Las cantidades $\dfrac{u_1}{\left\|\vec{u}\right\|}$, $\dfrac{u_2}{\left\|\vec{u}\right\|}$ y $\dfrac{u_3}{\left\|\vec{u}\right\|}$ se denominan cosenos directores de $\vec{u}$
ENUNCIADO. Sean los vectores $\vec{u}=(1,1,2)$ y $\vec{v}=(1,0,-1)$ ( cuyas coordenadas vienen dadas con respecto a la base canónica de $V$ ). Se pide:
a) Calcúlense los módulos de ambos vectores
b) Calcúlese el ángulo entre dichos vectores
SOLUCIÓN.
a)
$\left\|\vec{u}\right\|=\left|\sqrt{\langle \vec{u}\,,\,\vec{u}\rangle}\right|\overset{\text{Def. II}}{=}=\left|\sqrt{ u_1\,u_1+u_2\,u_2+u_3\,u_3} \right|=\left|\sqrt{1^2+1^2+2^2}\right|=\left|\sqrt{5}\right|$
$\left\|\vec{v}\right\|=\left|\sqrt{\langle \vec{v}\,,\,\vec{v}\rangle}\right|\overset{\text{Def. II}}{=}=\left|\sqrt{ v_1\,v_1+v_2\,v_2+v_3\,v_3} \right|=\left|\sqrt{1^2+0^2+(-1)^2}\right|=\left|\sqrt{2}\right|$
b)
$\measuredangle ( \vec{u},\vec{v} ) = \text{arccos}\,\dfrac{\langle \vec{u},\vec{v} \rangle}{\left\|\vec{u}\right\|\,\left\|\vec{v}\right\|}=\text{arccos}\,\dfrac{u_1\,v_1+u_2\,v_2+u_3\,v_3 }{\left\|\vec{u}\right\|\,\left\|\vec{v}\right\|}=$
$=\text{arccos}\,\dfrac{ 1\cdot 1+1\cdot 0+2\cdot (-1)}{\left|\sqrt{5}\right|\,\left|\sqrt{2}\right|}=\text{arccos}\,\dfrac{ -1}{\left|\sqrt{5}\right|\,\left|\sqrt{2}\right|} \approx 108,4^{\circ}=108^{\circ}\;24^{'}$
$\square$
No hay comentarios:
Publicar un comentario
Gracias por tus comentarios