Ecuación general de un plano. Vector característico de un plano.

Sean $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ y $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$ dos vectores paralelos a un plano $\pi$, y $P(x_P,y_P,z_P)$ un punto del mismo. Entonces, las ecuaciones paramétricas de dicho plano son $$\pi\equiv \left\{\begin{matrix}x-x_P & = & \lambda\, u_1 &+& \mu\,v_1 \\ y-y_P & = & \lambda\, u_2 &+& \mu\,v_2 \\ z-z_P & = & \lambda\, u_3 &+& \mu\,v_3\end{matrix}\right.$$ donde $X(x,y,z)$ es un cierto punto $\pi$ que podemos escoger libremente. Elegido $X$, los valores de los parámetros quedan fijados, luego podemos ver estas ecuaciones como un sistema de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son $\lambda$ y $\mu$, luego $$\text{rango}\begin{pmatrix}x-x_P & u_1 & v_1 \\ y-y_P & u_2 & v_2 \\ z-z_P & u_3 & v_3 \end{pmatrix}=2 \Leftrightarrow \begin{vmatrix}x-x_P & u_1 & v_1 \\ y-y_P & u_2 & v_2 \\ z-z_P & u_3 & v_3 \end{vmatrix}=0$$ Desarrollando por la primera columna este determinante (Laplace) obtenemos $$(x-x_P)\,\begin{vmatrix}u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \end{vmatrix}-(y-y_P)\,\begin{vmatrix}u_1& v_1 \\ u_3 & v_3 \end{vmatrix} + (z-z_P)\,\begin{vmatrix}u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix}=0$$ Y denotando: $A=\begin{vmatrix}u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \end{vmatrix}$, $B=-\begin{vmatrix}u_1 & v_1 \\ u_3 & v_3 \end{vmatrix}$ y $C=\begin{vmatrix}u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix}$, podemos escribir la ecuación del plano de la forma $\pi\equiv A\,(x - x_P)+B\,(y - y_P)+C\,(z- z_P)=0$, esto es $\pi \equiv A\,x+B\,y+C\,z-(A\,x_P+B\,y_P+C\,z_P)=0$; y denotando $D=-(A\,x_P+B\,y_P+C\,z_P)$, escribiremos la ecuación general del plano de la forma $$\pi\equiv A\,x+B\,y+C\,z+D=0$$

Observación importante: Démonos cuenta de que un vector perpendicular al plano $\pi$, al que llamaremos vector característico de $\pi$, viene dado por el producto vectorial $\vec{u} \times \vec{v}$, que, por la definición de esta operación es igual a

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j} & \vec{k}\\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}u_2 & v_2 \\ u_3 & v_3 \end{vmatrix}\, \vec{i}-\begin{vmatrix}u_1& v_1 \\ u_3 & v_3 \end{vmatrix}\,\vec{j}+\begin{vmatrix}u_1 & v_1 \\ u_2 & v_2 \end{vmatrix}\,\vec{k}$

    $=A\,\vec{i}+B\,\vec{j}+C\,\vec{k}=(A,B,C)$

Entonces, para determinar los coeficientes $A$, $B$ y $C$ de un plano, conociendo dos vectores paralelos, basta con calcular el producto vectorial de estos dos vectores; y, el valor del coeficiente $D$, se calcula imponiendo que un punto $P$ de $\pi$ conocido satisfaga la igualdad $A\,x_P+B\,y_P+C\,z_P+D=0$ con lo cual $D=-(A\,x_P+B\,y_P+C\,z_P)$

$\square$