ENUNCIADO. Sea la recta r\equiv x=y=z, determínese la ecuación de la recta r' que resulta de proyectar perpendicularmente r sobre el plano \pi \equiv x=0
SOLUCIÓN. La ecuación de la recta r' queda determinada por un punto y un vector en la dirección de la misma, esto es, por dos puntos de dicha recta r'; uno de ellos puede ser el punto de intersección de la recta r y el plano \pi, y, el otro punto es el punto de intersección con el plano \pi (sobre el que se realiza la proyección) con la recta perpendicular a dicho plano que pasa por un punto P de r.
En este problema concreto, es muy sencillo hacer eso, pues el plano sobre el que proyectamos tiene una ecuación muy sencilla, z=0.
Un punto de r pongamos que P(1,1,1) se proyecta (sobre el plano \pi que es el plano \text{Oxy} ) en P'(1,1,0). Por otra parte, otro punto de la recta proyectada r' es O(0,0,0) que es el punto de corte de r con el plano \text{Oxy}, entonces un vector en la dirección de r' es \overset{\rightarrow}{OP'}=(1-0,1-0,0-0)=(1,1,0), luego la ecuación vectorial de la recta r' es r'\equiv (x,y,z)=(0,0,0)+\mu\,(1,1,0). Veamos cuales son las ecuaciones implícitas: las ecuaciones paramétricas son r'\equiv \left\{\begin{matrix}x=0+\mu \\ y=0+\mu\\ z=0\end{matrix}\right. y de ellas vemos que \text{rango}\begin{pmatrix}x&1 \\ y& 1 \\z&0\end{pmatrix}=1, con lo cual deberá cumplirse que los menores complementarios de orden 2 han de ser nulos, \begin{vmatrix}x& 1 \\ y&1\end{vmatrix}=0\Leftrightarrow x-y=0 y \begin{vmatrix}x& 1 \\ y&1\end{vmatrix}=0\Leftrightarrow x-y=0 y \begin{vmatrix}y& 1 \\ z&0\end{vmatrix}=0\Leftrightarrow z=0. En consecuencias, r'\equiv \left\{\begin{matrix}x=y\\ z=0\end{matrix}\right.
Observación: Este resultado es evidente si tenemos en cuenta que si z=0 ( ecuación del plano sobre el que se proyecta la recta r ) entonces de r\equiv x=y=z obtenemos, sin más, r'\equiv \left\{\begin{matrix}x=y\\ z=0\end{matrix}\right.
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