Proyección ortogonal de una recta sobre el plano Oxy

ENUNCIADO. Sea la recta $r\equiv x=y=z$, determínese la ecuación de la recta $r'$ que resulta de proyectar perpendicularmente $r$ sobre el plano $\pi \equiv x=0$

SOLUCIÓN. La ecuación de la recta $r'$ queda determinada por un punto y un vector en la dirección de la misma, esto es, por dos puntos de dicha recta $r'$; uno de ellos puede ser el punto de intersección de la recta $r$ y el plano $\pi$, y, el otro punto es el punto de intersección con el plano $\pi$ (sobre el que se realiza la proyección) con la recta perpendicular a dicho plano que pasa por un punto $P$ de $r$.

En este problema concreto, es muy sencillo hacer eso, pues el plano sobre el que proyectamos tiene una ecuación muy sencilla, $z=0$.

Un punto de $r$ pongamos que $P(1,1,1)$ se proyecta (sobre el plano $\pi$ que es el plano $\text{Oxy}$ ) en $P'(1,1,0)$. Por otra parte, otro punto de la recta proyectada $r'$ es $O(0,0,0)$ que es el punto de corte de $r$ con el plano $\text{Oxy}$, entonces un vector en la dirección de $r'$ es $\overset{\rightarrow}{OP'}=(1-0,1-0,0-0)=(1,1,0)$, luego la ecuación vectorial de la recta $r'$ es $r'\equiv (x,y,z)=(0,0,0)+\mu\,(1,1,0)$. Veamos cuales son las ecuaciones implícitas: las ecuaciones paramétricas son $r'\equiv \left\{\begin{matrix}x=0+\mu \\ y=0+\mu\\ z=0\end{matrix}\right.$ y de ellas vemos que $\text{rango}\begin{pmatrix}x&1 \\ y& 1 \\z&0\end{pmatrix}=1$, con lo cual deberá cumplirse que los menores complementarios de orden $2$ han de ser nulos, $\begin{vmatrix}x& 1 \\ y&1\end{vmatrix}=0\Leftrightarrow x-y=0$ y $\begin{vmatrix}x& 1 \\ y&1\end{vmatrix}=0\Leftrightarrow x-y=0$ y $\begin{vmatrix}y& 1 \\ z&0\end{vmatrix}=0\Leftrightarrow z=0$. En consecuencias, $r'\equiv \left\{\begin{matrix}x=y\\ z=0\end{matrix}\right.$

Observación: Este resultado es evidente si tenemos en cuenta que si $z=0$ ( ecuación del plano sobre el que se proyecta la recta $r$ ) entonces de $r\equiv x=y=z$ obtenemos, sin más, $r'\equiv \left\{\begin{matrix}x=y\\ z=0\end{matrix}\right.$
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