Recta perpendicular a un plano

ENUNCIADO. Pruébese que la recta $r \equiv x=y=z$ es perpendicular al plano $\pi \equiv -x-y-z+1=0$

SOLUCIÓN. Un vector en la dirección de la recta es $\vec{u}=(1,1,1)$, y el vector característico del plano $\pi$ es $\vec{n}=(-1,-1,-1) \propto (1,1,1)$, luego al tener dichos vectores la misma dirección se concluye que $r$ es perpendicular a $\pi$.

Observación. Siendo $\vec{u}\neq \vec{0}$ y $\vec{n}\neq \vec{0}$, es sabido que $\vec{u} \times \vec{n}=\vec{0}$ es condición necesaria y suficiente de proporcionalidad entre los vectores, y, por tanto, de perpendicularidad entre la recta y el plano. Y, desde luego, se cumple que $\vec{u}\times \vec{n}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&1&1\\-1&-1&-1\end{vmatrix}=\vec{0}$

$\square$