Incidencias de rectas y planos en el espacio

ENUNCIADO. Estudiar la incidencia de la recta $$r\equiv \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&2z&-&3&=0 \\ 2x&+&y&+&z&-&1&=0\end{matrix}\right.$$ y el plano $$\pi \equiv x-y+3z-5=0$$

SOLUCIÓN. Las ecuaciones de $r$ y $\pi$ forman el sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&2z&=3 \\ 2x&+&y&+&z&=1\\ x&-&y&+&3z&=5 \end{matrix}\right.$$ Hagamos ahora un análisis de rangos para aplicar el teorema de Rouché-Fröbenius pues el tipo de solución dará respuesta al enunciado, tal como hemos visto [en este otro artículo]:
$$\text{rango}\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&2&3 \\ 1&1&1&1 \\ 1&-1&3&5\end{array}\right)\overset{e_1-e_3 \rightarrow e_3\,,\,e_2-2e_1 \rightarrow e_2}{=}\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&2&3 \\ 0&3&-3&-5 \\ 0&0&-1&-2\end{array}\right)=3$$ y $$\text{rango}\left(\begin{array}{ccc}1&-1&2 \\ 1&1&1 \\ 1&-1&3\end{array}\right)=3$$ luego, al ser el valor del rango igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado, y, en consecuencia el plano y la recta son secantes.

Veamos ahora cuáles son las coordenadas el punto de intersección $P = \pi \cap r$. Resolviendo el sistema de ecuaciones:
$$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&2z&=3 \\ 2x&+&y&+&z&=1\\ x&-&y&+&3z&=5 \end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&2z&=3 \\ &&3y&-&3z&=-5\\ &&&&-z&=-2 \end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}x&&&&=-\dfrac{2}{3} \\ &&y&&=\dfrac{1}{3}\\ &&&&z=2 \end{matrix}\right. $$ Así pues el punto de intersección es $P\left(-\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3},2\right)$
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