Incidencias de rectas en el espacio. Ejemplo de dos rectas coincidentes

ENUNCIADO. Sean las rectas $r\equiv x=y=z$ y $s \equiv \dfrac{x}{2}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{2}$ Investíguese la incidencia

SOLUCIÓN.
Un vector $\vec{u}$ de $r$ es $\vec{u}=(1,1,1)$ y un punto $P$ de dicha recta es $P(0,0,0)$
Un vector $\vec{v}$ de $r$ es $\vec{v}=(2,2,2)$ y un punto $Q$ de dicha recta es $Q(1,1,1)$
El vector que desde $P$ ( de la recta $r$ ) que apunta a $Q$ ( de la recta $s$ ) es $\overset{\rightarrow}{PQ}=(1-0,1-0,1-0)=(1,1,1)$

Examinemos el rango de $\{\overset{\rightarrow}{PQ},\vec{u},\vec{v}\}$:

  $\text{rango}(\{\overset{\rightarrow}{PQ},\vec{u},\vec{v}\})=\text{rango}\,\begin{pmatrix}1&1&1 \\ 1&1&1 \\ 2&2&2\end{pmatrix}=1$, luego al ser los tres vectores de la misma dirección, las rectas $r$ y $s$ son coincidentes. $\square$

Incidencia de rectas en el espacio. Ejemplo de rectas que se cruzan

ENUNCIADO. Sean las rectas $r\equiv x-1=\dfrac{y+1}{2}=z$ y $s \equiv \dfrac{x+1}{-1}=y=z$ Investíguese la incidencia

SOLUCIÓN.
Un vector $\vec{u}$ de $r$ es $\vec{u}=(1,2,1)$ y un punto $P$ de dicha recta es $P(1,-1,0)$
Un vector $\vec{v}$ de $r$ es $\vec{v}=(-1,1,1)$ y un punto $Q$ de dicha recta es $Q(-1,0,0)$
El vector que desde $P$ ( de la recta $r$ ) que apunta a $Q$ ( de la recta $s$ ) es $\overset{\rightarrow}{PQ}=(-1-1,0-(-1),0-0)=(-2,1,0)$

Examinemos el rango de $\{\overset{\rightarrow}{PQ},\vec{u},\vec{v}\}$:

  $\text{rango}(\{\overset{\rightarrow}{PQ},\vec{u},\vec{v}\})=\text{rango}\,\begin{pmatrix}-2&1&0 \\ 1&2&1 \\ -1&1&1\end{pmatrix}=3$, luego al ser los tres vectores independientes, las rectas $r$ y $s$ se cruzan. $\square$

Incidencia de rectas en el espacio. Ejemplo de rectas paralelas no coincidentes

ENUNCIADO. Sean las rectas $r\equiv x-1=y=z$ y $s \equiv \dfrac{x+2}{2}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z+1}{2}$ Investíguese la incidencia

SOLUCIÓN.
Un vector $\vec{u}$ de $r$ es $\vec{u}=(1,1,1)$ y un punto $P$ de dicha recta es $P(1,0,0)$
Un vector $\vec{v}$ de $r$ es $\vec{v}=(2,2,2)$ y un punto $Q$ de dicha recta es $Q(-2,3,-1)$
El vector que desde $P$ ( de la recta $r$ ) que apunta a $Q$ ( de la recta $s$ ) es $\overset{\rightarrow}{PQ}=(-2-1,3-0,-1-0)=(-3,3,-1)$

Examinemos el rango de $\{\overset{\rightarrow}{PQ},\vec{u},\vec{v}\}$:

  $\text{rango}(\{\overset{\rightarrow}{PQ},\vec{u},\vec{v}\})=\text{rango}\,\begin{pmatrix}-3&3&-1 \\ 1&1&1 \\ 2&2&2\end{pmatrix}=2$ y, por otra parte, los vectores de las rectas $\vec{u}$ y $\vec{v}$ tienen la misma dirección, luego las rectas $r$ y $s$ son paralelas no coincidentes. $\square$

Incidencia de rectas en el espacio

ENUNCIADO. Sean las rectas $$r \equiv \left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&+&1&=&0 \\ x&+&3y&+&z&&&=&0\end{matrix}\right.$$ y $$s \equiv \left\{\begin{matrix}x&=&1+\mu \\ y&=&1\\ z&=&-\,\mu\end{matrix}\right.$$ Investíguese la incidencia de las mismas.

Investíguese la incidencia de las siguientes rectas en el espacio

ENUNCIADO. Sean las rectas $$r \equiv \left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&+&1&=&0 \\ x&+&3y&+&z&&&=&0\end{matrix}\right.$$ y $$s \equiv \left\{\begin{matrix}x&=&1+\mu \\ y&=&1\\ z&=&-\,\mu\end{matrix}\right.$$ Investíguese la incidencia de las mismas

SOLUCIÓN. Sea $A$ un punto de $r$ y $B$ un punto de $s$; $\vec{u}$ un vector en la dirección de $r$ y $\vec{v}$, un vector en la dirección de $s$. Para investigar la incidencia debemos calcular $\text{rango}(\{\overset{\rightarrow}{AB},\vec{u},\vec{v}\})$ y $\text{rango}(\{\vec{u},\vec{v}\})$ y realizar el correspondiente análisis de rangos.

Calculemos un punto $A$ de $r$. Una manera de calcular puntos de una recta que viene expresada mediante sus ecuaciones implícitas ( o cartesianas ), determinaremos la ecuaciones paramétricas de dicha recta y daremos un valor arbitrario al parámetro del que dependen; escogiendo $z$ como variable secundaria, $z=\lambda \in \mathbb{R}$ con lo cual $$r\equiv \left\{\begin{matrix}x&+&y&&&=&\lambda-1 \\ x&+&3y&&&=&-\lambda\\ &&&&z&=&\lambda\end{matrix}\right. \overset{e_1-e_2 \rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&&&=&\lambda-1 \\ &-&2y&&&=&2\,\lambda-1\\ &&&&z&=&\lambda\end{matrix}\right.\sim$$
$\overset{\text{sustitución retrógrada}}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&\dfrac{4\,\lambda-3}{2} \\ &&y&&&=&\dfrac{1-2\lambda}{2} \\ &&&&z&=&\lambda\end{matrix}\right.$
Haciendo ahora $\lambda:=0$ ( por supuesto, podríamos asignarle cualquier otro valor ), encontramos $A(-\dfrac{3}{2}\,\dfrac{1}{2},0)$.

Observación: Otra forma de buscar un punto de $r$, directamente a partir de las ecuaciones implícitas, es la siguiente: Demos un valor cualquiera a una de las tres variables, pongamos que a $z$, por ejemplo $z:=0$; entonces se tiene que
$$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&0&+&1&=&0 \\ x&+&3y&+&0&&&=&0 \\ &&&&z&&&=&0\end{matrix} \right.$$ y por tanto $$ \left\{\begin{matrix}x&+&y&&&=&-1 \\ x&+&3y&&&=&0 \\ &&&&z&=&0 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&-\dfrac{3}{2} \\ &&y&&&=&\dfrac{1}{2} \\ &&&&z&=&0 \end{matrix}\right. $$ que son las coordenadas de $A$

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Para encontrar un vector $\vec{u}$ que tenga la dirección de $r$ despejaremos $\lambda$ de cada una de las tres ecuaciones paramétricas, obteniendo $$r \equiv \left\{\begin{matrix}\lambda&=&\dfrac{2x+3}{4}\\ \lambda&=&\dfrac{2y-1}{-2}\\ \lambda&=&z\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}\lambda&=&\dfrac{x-(-3/2)}{2}\\ \lambda&=&\dfrac{y-1/2}{-1}\\ \lambda&=&\dfrac{z-0}{1}\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}2\cdot \lambda&=&x-(-3/2)\\ -1\cdot \lambda&=&y-1/2\\ 1\cdot \lambda&=&z-0\end{matrix}\right. $$ luego $$\vec{u}=(2,-1,1)$$

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Vamos a calcular ahora un punto $B$ de $s$; dando un valor arbitrario a $\mu$ ( pongamos que $\mu:=0$ ), obtenemos $B(1,1,0)$. Y, para calcular un vector $\vec{v}$ que tenga la dirección de la recta $s$, fijémonos en que podemos escribirla de la forma $$s\equiv \left\{\begin{matrix}1\cdot\mu&=&x-1 \\ 0\cdot \mu&=&y-1 \\ -1\cdot \mu&=&z-0\end{matrix}\right.$$ con lo cual $$\vec{v}=(1,0,-1)$$

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Encontremos ahora un vector que apunte de $r$ a $s$: el vector que apunta de $A$ a $B$ es $(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)=(\dfrac{5}{2},\dfrac{1}{2},0)$ que es combinación lineal de $(5,1,0)$ -- Nota: en adelante expresaremos ésto así, $(\dfrac{5}{2},\dfrac{1}{2},0) \propto (5,1,0)$ -- , luego tomaremos $\overset{\rightarrow}{AB}:=(5,1,0)$

-oOo-
Centrémonos ahora en la discusión de rangos: $\text{rango}(\{\overset{\rightarrow}{AB},\vec{u},\vec{v}\})=\text{rango}\,\begin{pmatrix}5&1&0\\2&-1&1\\1&0&-1\end{pmatrix}=3$ ya que $\begin{vmatrix}5&1&0\\2&-1&1\\1&0&-1\end{vmatrix}=8\neq 0$, por tanto esos tres vectores son independientes, luego las rectas no están en el mismo plano y, por consiguiente, éstas se cruzan ( pero no se cortan ).

$\square$

Rectas secantes en el espacio

ENUNCIADO. Determínese el valor de $k$ para que las rectas $r\equiv \dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{3}=\dfrac{z+1}{1}$ y $s\equiv \dfrac{x-k}{-1}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z}{4}$ sean secantes.

SOLUCIÓN. Un punto de $r$ es $A(1,0,-1)$ y un punto de $s$ es $B(k,-1,0)$, luego un vector de $r$ a $s$ es $\overset{\rightarrow}{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_a)=(a-1,-1,1)$; por otra parte, un vector con la dirección de $r$ es $\vec{u}=(2,3,1)$ y un vector con la dirección de $s$, $\vec{v}=(-1,2,4)$

Entonces, las rectas $r$ y $s$ son secantes si $\text{rango}(\{\overset{\rightarrow}{AB},\vec{u},\vec{v}\})=\text{rango}(\{\vec{u},\vec{v}\})=2$. Imponiendo esta condición, $$\text{rango}\begin{pmatrix}k-1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 4\end{pmatrix}=\text{rango}\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 4\end{pmatrix}=2 \Leftrightarrow \begin{vmatrix}k-1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ -1 & 2 & 4\end{vmatrix}=0 \Leftrightarrow$$
    $\Leftrightarrow 10\,(k-1)+10=0 \Leftrightarrow k=-\dfrac{3}{5}$
$\square$

Incidencia de rectas en el espacio. Rectas que se cruzan pero que no se cortan.

ENUNCIADO. Sean las rectas $$r \equiv \left\{\begin{matrix}x&=&1&+&\lambda \\ y&=&-1&+&2\,\lambda\\ z&=&&&\lambda\end{matrix}\right.$$ y $$s \equiv \left\{\begin{matrix}x&=&3&-&\lambda \\ y&=&1&-&\lambda\\ z&=&1&+&4\,\lambda\end{matrix}\right.$$ Investíguese la incidencia de las mismas

SOLUCIÓN. Seguiremos los pasos que expliqué en [este otro artículo]. Un punto $A$ de $r$ es $A(1,-1,0)$, y un punto $B$ de $s$ es $B(3,1,1)$, luego que desde $A$ apunta a $B$ es $\overset{\rightarrow}{AB}=(3-1.1-(-1),1-0)=(2,2,1)$. Por otra parte, un vector en la dirección de $r$ es $\vec{u}=(1,2,1)$ y un vector en la dirección de $s$ es $\vec{v}=(-1,-1,4)$. Procedemos al análisis de rangos:
$\text{rango}(\{\overset{\rightarrow}{AB},\vec{u},\vec{v}\})=\text{rango}\begin{pmatrix}2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -1&-1& 4\end{pmatrix}\overset{\text{reducción por Gauss}}{=}$

$\overset{e_2+e_3 \rightarrow e_3 \; -2\,;\,e_2+e_1 \rightarrow e_2}{=}\text{rango}\begin{pmatrix}2 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0&1& 5\end{pmatrix}=\overset{2\,e_3 +e_2 \rightarrow e_3}{=}\text{rango}\begin{pmatrix}2 & 2 & 1 \\ 0 & -2 & -1 \\ 0&0& 9\end{pmatrix}=3$ por lo tanto los tres vectores son independientes, con lo cual $r$ y $s$ no están en el mismo plano, luego éstas se cruzan pero no se cortan.
$\square$

Geometría analítica

ENUNCIADO.
a) Determinar la distancia entre las rectas $r_1:x=y=z$ y $r_2:\left\{\begin{matrix}x+y-1=0\\ x-z+1=0\end{matrix}\right.$
b) Obténgase el punto de corte de la recta $s:x=2-y=z-1$ con el plano perpendicular a $s$ que pasa por el origen de coordenadas

SOLUCIÓN.
a)
En primer lugar vamos a estudiar la incidencia entre $r_1$ y $r_2$.

Un vector director de $r_1$ es $\vec{u}_1=(1,1,1)$

Encontremos ahora un vector director de $r_2$. De las ecuaciones implícitas de la recta podemos escribir la misma en forma paramétrica de la forma $\left\{\begin{matrix}x&=&-\lambda+2 \\ y&=&\lambda-1 \\ z&=&\lambda \end{matrix}\right.$ y despejando el parámetro $\lambda$ de cada una de ellas, $\left\{\begin{matrix}\lambda&=&\dfrac{x-2}{-1}\\ \lambda&=&y+1 \\ \lambda&=&z \end{matrix}\right.$ por lo que la ecuación en forma continua es $\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y-(-1)}{1}=\dfrac{z}{1}$ y de ello deducimos que un vector director de $r_2$ es $\vec{u}_2=(-1,1,1)$

A continuación necesitamos conocer un punto de cada una de las dos rectas, que denotaremos por $P_{r_1}$ y $P_{r_2}$ para construir un vector que apunte de uno a otro ( de una recta a la otra ): $\vec{P_{r_1}P_{r_2}}$, ya que: i) si $\text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\}=3$ las rectas se cruzan pero no se cortan, con lo cual la distancia pedida será distinta de cero, y, ii) en caso de que $\text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\}=2$ y $\text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2\}=1$, las rectas son paralelas y distintas, con lo cual la distancia entre estas también es distinta de cero.

Es evidente que un punto de $r_1$ es $P_{r_1}=(0,0,0)$. Por otra parte, fijando el parámetro $\lambda$ ( pongamos que $\lambda:=0$ ) en las ecuaciones paramétricas de $r_2$, encontramos un punto de la misma, $P_{r_2}=(2,-1,0)$. Hecho esto, $\vec{P_{r_1}P_{r_2}}=(2-0,-1-0,0-0)=(2,-1,0)$

Como $\begin{vmatrix}1&1&1\\-1&1&1\\2&-1&0\end{vmatrix}=2\neq 0$, deducimos de ello que $\text{rango}\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\}=3$ y por tanto $r_1$ y $r_2$ se cruzan pero no se cortan, con lo cual la distancia pedida es distinta de cero.

Para calcular la distancia $d(r_1,r_2)$, tendremos en cuenta que los vectores $\{\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}\}$ forman un paralelepípedo de volumen igual al valor absoluto del producto mixto de los tres $\left|[\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}]\right|$, pero ese mismo volumen puede calcularse también mediante $d(r_1,r_2)\cdot \left\|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2\right\|$ luego $$d(r_1,r_2)=\dfrac{\left|[\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}]\right|}{\left\|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2\right\|} \quad \quad (1)$$
donde
$$\left|[\vec{u}_1,\vec{u}_2,\vec{P_{r_1}P_{r_2}}]\right|=2$$ ya que $$\begin{vmatrix}1&1&1\\-1&1&1\\2&-1&0\end{vmatrix}=2$$
Por otra parte $$\vec{u}_1 \times \vec{u}_2=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&1&1\\-1&1&1\end{vmatrix}=2\,\vec{k}=(0,-2,2)$$ luego $\left\|\vec{u}_1 \times \vec{u}_2\right\|=2\,|\sqrt{2}|$. Y, finalmente, sustituyendo en (1) llegamos a $$d(r_1,r_2)=\dfrac{2}{2\,|\sqrt{2}|}=\dfrac{|\sqrt{2}|}{2}$$

b)
La recta $s$ puede expresarse de la forma ( continua ) $s:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-1}{1} \quad \quad (2)$, luego un vector director de la recta es $\vec{u}_s=(1,-1,1)$, que a su vez es un vector perpendicular al plano $\pi$ ( perpendicular a $s$ ); entonces, como la ecuación general de un plano es $Ax+By+Cz+D=0$ y $A=1$, $B=-1$ y $C=1$, podemos escribir $\pi:x-y+z+D=0 \quad \quad (3) $. Y como sabemos que $O(0,0,0)$ es un punto de $\pi$, deducimos ( sustituyendo las coordenadas de $O$ en la ecuación (3) ) que $D=0$, con lo cual vemos que la ecuación del plano pedido es $$\pi:x-y+z=0$$

La ecuación de la recta (2) también podemos expresarla en forma implícita (como la intersección de dos planos): $$s:\left\{\begin{matrix}x=2-y\\x=z-1\end{matrix}\right.$$ que junto con la ecuación del plano $\pi:x-y+z=0$ nos lleva al sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&0 \\ x&+&y&&&=&2 \\ x&&&-&z&=&-1\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&0 \\ &&2y&-&z&=&2 \\ &&y&-&2z&=&-1\end{matrix}\right.\sim$$
$$\sim \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&0 \\ &&2y&-&z&=&2 \\ &&&&3z&=&4\end{matrix}\right.$$ con lo cual, despejando de la última ecuación, $z=\dfrac{4}{3}$; sustituyendo en la segunda, $y=\dfrac{5}{3}$; y, sustituyendo estos dos valores en la primera ecuación, $x=\dfrac{1}{3}$. Así pues el punto de corte viene dado por $( \dfrac{1}{3}\,,\,\dfrac{5}{3}\,,\,\dfrac{4}{3})$

$\square$