Producto mixto de tres vectores. Aplicaciones: volumen de un paralelepípedo y volumen de un tetraedro

A continuación se expone la definición de una operación combinada del producto escalar y del producto vectorial que tiene especial interés ( en este curso ) para calcular los volúmenes de un paralelogramo y de un tetraedro.

Definición ( producto mixto de tres vectores ):
Sean $\vec{u}=(u_1,u_2,u_3),\vec{v}=(v_1,v_2,v_3),\vec{w}=(w_1,w_2,w_3)$ tres vectores libres del espacio vectorial tridimensional $V$, cuyas coordenadas vienen referidas a una base ortonormal. Se define el producto mixto de $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$ como la aplicación $$V \times V \times V \overset{[.,.,.]}{\rightarrow} \mathbb{R}:\,[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\overset{\text{def}}{=}\langle \vec{u}\,,\,\vec{v} \times \vec{w}\rangle=\begin{vmatrix}u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{vmatrix}$$

Propiedades:
(1) Si uno de los tres vectores es nulo, el producto mixto es nulo

(2)
$[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{v},\vec{w},\vec{u}]=[\vec{w},\vec{u},\vec{v}]$
$[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=-[\vec{v},\vec{u},\vec{w}]$
$[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=-[\vec{u},\vec{w},\vec{v}]$
$[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=-[\vec{w},\vec{v},\vec{u}]$

(3) Los vectores $\{\vec{u},\vec{v},\vec{w}\}$ son linealmente dependientes si y sólo si $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0$

(4)
i) $[\lambda\,\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{u},\lambda\,\vec{v},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{v},\lambda\,\vec{w}]=\lambda\,[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$

ii) $[\lambda\,\mu\,\vec{u},\vec{v},\nu\,\vec{w}]=\lambda\,\mu\,\nu\,[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$

iii)
$[\vec{u}+\vec{u'},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]+[\vec{u'},\vec{v},\vec{w}]$
$[\vec{u},\vec{v}+\vec{v'},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]+[\vec{u},\vec{v'},\vec{w}]$
$[\vec{u},\vec{v},\vec{w}+\vec{w'}]=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]+[\vec{u},\vec{v},\vec{w'}]$

Volumen de un paralelepípedo:
Consideremos un paralelepípedo representado por la terna de vectores libres no coplanarios $\overset{\rightarrow}{DA}$, $\overset{\rightarrow}{DB}$ y $\overset{\rightarrow}{DC}$. Sabemos que el volumen se obtiene multiplicando el área de una de las caras del paralelepípedo por la distancia a la cara paralela enfrentada, esto es $\left\| \overset{\rightarrow}{DA} \times \overset{\rightarrow}{DB} \right\| \cdot ( \cos\,\measuredangle (\overset{\rightarrow}{DA} \times \overset{\rightarrow}{DB},\overset{\rightarrow}{DC}))$, que es el valor absoluto del producto mixto $\langle \overset{\rightarrow}{DA} \times \overset{\rightarrow}{DB}\,,\,\overset{\rightarrow}{DC}\rangle$; esto es, el volumen del paralelepípedo viene dado por el valor absoluto de $$\begin{vmatrix} x_A-x_D & y_A-y_D & z_A-z_D \\ x_B-x_D & y_B-y_D & z_B-z_D \\ x_C-x_D & y_C-y_D & z_C-z_D \end{vmatrix}$$ que abreviamos escribiendo $$\left|\, \left[\,\overset{\rightarrow}{DA},\overset{\rightarrow}{DB}, \overset{\rightarrow}{DC} \,\right]\, \right|$$

Volumen de un tetraedro:
Teniendo en cuenta que el volumen de un tetraedro es igual a una tercera parte del área de la base ( que es un triángulo ) por la altura ( recordemos que es perpendicular a la base ), considerando un tetraedro genérico cuyos vértices sean $A(x_A,y_A,z_A)$, $B(x_B,y_B,z_B)$, $C(x_C,y_C,z_C)$ y $D(x_D,y_D,z_D)$, el volumen del mismo viene dado por $$\dfrac{1}{6}\,\left| \, \left[\,\overset{\rightarrow}{DA},\overset{\rightarrow}{DB}, \overset{\rightarrow}{DC} \,\right] \,\right|$$

Nota: Otra forma de entender el factor $\dfrac{1}{6}$ es teniendo en cuenta que un paralelepípedo se descompone en dos prismas de base triangular ( cortándolo por un plano perpendicular a la base y que contenga a la diagonal de la misma ) y cada uno de los dos prismas se descompone a su vez en dos tetraedros con las bases enfrontadas; así que el volumen de uno de esos tetraedros ha de ser igual a una sexta parte del volumen del paralelepípedo.

Ejemplo:

ENUNCIADO. Calcúlese el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos $A(3,0,0)$, $B(0,4,0)$, $C(0,0,5)$ y $D(0,0,0)$, ( coordenadas dadas con respecto de la base canónica )

SOLUCIÓN. Los tres vectores con origen en uno de los cuatro puntos -- pongamos que en $D$ -- y extremos respectivos en los otros tres vértices ( vectores sobre tres aristas básicas ) son:
$\vec{u}=\overset{\rightarrow}{DA}=(3,0,0)$
$\vec{v}=\overset{\rightarrow}{DB}=(0,4,0)$
$\vec{w}=\overset{\rightarrow}{DC}=(0,0,5)$

luego el volumen pedido es igual $\dfrac{1}{6}\,\left| [(3,0,0),(0,4,0),(0,0,5)] \right|$
donde $[(3,0,0),(0,4,0),(0,0,5)]=\begin{vmatrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix}=60$
por consiguiente, $\text{Volumen}=\dfrac{1}{6}\cdot 60=10 \; (\text{unidades de longitud})^3$

$\square$