Espacio euclídeo. Distancia entre dos rectas que se cruzan

ENUNCIADO. Sean las rectas
$$r\equiv x=y=z$$ y $$s \equiv \left\{\begin{matrix}x&+&y&&=&1 \\ &&&z&=&0\end{matrix}\right.$$ Averígüese si dichas rectas se cruzan y, en caso afirmativo, calcúlese la distancia entre ellas.

SOLUCIÓN. Sea $\vec{u}$ un vector que tiene la dirección de $r$ y $\vec{v}$ un vector en la dirección de $s$. Sea $A$ un punto de $r$ y $B$ un punto de $s$. Vamos a estudiar el rango de $\{\vec{u},\vec{v},\overset{\rightarrow}{AB}\}$

Tomamos $\vec{u}:=(1,1,1)$, y, para encontrar un vector de $s$ escribiremos ésta en forma paramétrica: de $s \equiv \left\{\begin{matrix}x&+&y&&=&1 \\ &&&z&=&0\end{matrix}\right.$ es inmediato pasar a las ecuaciones paramétricas; para ello, escogemos $y$ como variable secundaria ( $\lambda=y$ ), con lo cual $$s \equiv \left\{\begin{matrix}x=1-\lambda\\y=\lambda\\z=0\end{matrix}\right.$$ de la cual extraemos $\vec{v}:=(-1,1,0)$, y, por otra parte, de las mismas ecuaciones paramétricas, tomando $\lambda:=0$, vemos que un punto válido de $s$ es $B(1,0,0)$, con lo cual $\overset{\rightarrow}{AB}=(1-0,0-0,0-0)=(1,0,0)$

Así pues $\text{rango}(\{\vec{u},\vec{v},\overset{\rightarrow}{AB}\})=\text{rango}\,\begin{pmatrix}1&1&1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{pmatrix}=3$ ( ya que es claro que $\begin{vmatrix}1&1&1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{vmatrix} \neq 0$ ), en consecuencia las rectas se cruzan.

Procedemos a calcular la distancia entre las rectas.
Es sabido que $$d(r,s)=\dfrac{\left| \, \left[ \overset{\rightarrow}{AB}, \vec{u},\vec{v}\right]\,\right|}{\left\| \vec{u} \times \vec{v} \right\|} \quad \quad (1)$$ donde el producto mixto $\left[ \overset{\rightarrow}{AB}, \vec{u},\vec{v}\right]$ se define como $$\left[ \overset{\rightarrow}{AB}, \vec{u},\vec{v}\right]\overset{\text{def}}{=}\langle \overset{\rightarrow}{AB}\,,\, \vec{u} \times \vec{v} \rangle = \begin{vmatrix}1&0&0\\ 1&1&1 \\ -1&1&0\end{vmatrix}=-1 $$

por otra parte, $\vec{u} \times \vec{v}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ 1&1&1 \\ -1&1&0\end{vmatrix}=-\vec{i}-\vec{j}+2\,\vec{k}=(-1,-1,2)$ y por tanto $$\left\|(-1,-1,2)\right\|=\left|\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+2^2}\right|=\left|\sqrt{6}\right|$$

Sustituyendo pues en (1), llegamos a $$d(r,s)=\dfrac{\left|-1\right|}{\left|\sqrt{6}\right|}=\dfrac{1}{\left|\sqrt{6}\right|}\,\text{unidades de longitud}$$

$\square$