Espacio euclídeo. Cálculo de distancias

ENUNCIADO. Calcúlese la distancia entre el punto $P(1,1,1)$ y:
a) el punto $Q(-1,1,1)$
b) la recta $r \equiv x-1=y+1=z$
c) el plano $\pi \equiv x-y+z+1=0$

SOLUCIÓN.
a)
$d(P,Q)=\left\|\overset{\rightarrow}{PQ}\right\|=\left\|(-1-1,1-1,1-1)\right\|=\left\|(-2,0,0)\right\|=\left|\sqrt{(-2)^2+0^2+0^2}\right|=2$ unidades de longitud


b)
Si $\vec{u}$ es un vector que tiene la dirección de $r$ y $A$ denota un punto de dicha recta, sabemos que $$d(r,P)=\dfrac{\left\|\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}\right\|}{\left\|\vec{u}\right\|} \quad \quad (1)$$

Tomando $\vec{u}:=(1,1,1)$, tenemos que $\left\|(1,1,1)\right\|=\left|\sqrt{1^2+1^2+1^2}\right|=\left|\sqrt{3}\right|$

Por otra parte, tomamos $A:=(1,-1,0)$, con lo cual $\overset{\rightarrow}{AP}=(1-1,1-(-1),1-0)=(0,2,1)$

Con lo cual podemos calcular $$\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}& \vec{k}\\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1\end{vmatrix}=-\vec{i}-\vec{j}+2\,\vec{k}=(-1,-1,2)$$ siendo su módulo: $$\left\|\vec{u}\times \overset{\rightarrow}{AP}\right\|=\left\|(-1,-1,2)\right\|=\left|\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+2^2}\right|=\left|\sqrt{6}\right|$$

Así pues, de (1), encontramos $$d(P,r)=\dfrac{\left|\sqrt{6}\right|}{\left|\sqrt{3}\right|}=\left|\sqrt{\dfrac{6}{3}}\right|=\left|\sqrt{2}\right|\, \text{unidades de longitud}$$


c)
Sabemos que $$d(P,\pi)=\dfrac{\left|A\,x_p+B\,y_p+C\,z_p+D\right|}{\left|\sqrt{A^2+B^2+C^2}\right|} \quad \quad (2)$$ De la ecuación general del plano $\pi \equiv x-y+z+1=0$, extraemos $A=1$, $B=-1$, $C=1$ y $D=1$; y, como $x_P=y_P=z_P=1$, encontramos de (2) que $$d(P,\pi)=\dfrac{\left|1\cdot 1+(-1)\cdot 1 +1 \cdot 1 +1\right|}{\left|\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}\right|}=\dfrac{2}{\left|\sqrt{3}\right|}\,\text{unidades de longitud}$$

$\square$