Incidencia de una recta y un plano. Ejemplo de recta paralela al plano y no contenida en él

ENUNCIADO. Sean la recta $r\equiv x=y=z$ y el plano $\pi \equiv y-z+1=0$ Investíguese la incidencia

SOLUCIÓN.
Un vector $\vec{u}$ de $r$ es $\vec{u}=(1,1,1)$ y un punto $P$ de dicha recta es $P(0,0,0)$
El vector característico de $\pi$ es $\vec{n}=(0,1,-1)$

Como $\langle \, \vec{n}\,,\,\vec{u}\,\rangle = \langle \, (0,1,-1)\,,\,(1,1,1)\,\rangle = 0\cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) =0$, deducimos que $\vec{n} \perp \vec{u}$, esto es el plano $\pi$ es paralelo a la recta $r$. Y, como $P$ ( de $r$ ) no pertenece a $\pi$ ( ya que sus coordenadas no satisfacen la ecuación del plano: $0-0+1\neq 0$ ), dicha recta no está incluida en el plano.

$\square$