Investíguese la incidencia de las siguientes rectas en el espacio

ENUNCIADO. Sean las rectas $$r \equiv \left\{\begin{matrix}x&+&y&-&z&+&1&=&0 \\ x&+&3y&+&z&&&=&0\end{matrix}\right.$$ y $$s \equiv \left\{\begin{matrix}x&=&1+\mu \\ y&=&1\\ z&=&-\,\mu\end{matrix}\right.$$ Investíguese la incidencia de las mismas

SOLUCIÓN. Sea $A$ un punto de $r$ y $B$ un punto de $s$; $\vec{u}$ un vector en la dirección de $r$ y $\vec{v}$, un vector en la dirección de $s$. Para investigar la incidencia debemos calcular $\text{rango}(\{\overset{\rightarrow}{AB},\vec{u},\vec{v}\})$ y $\text{rango}(\{\vec{u},\vec{v}\})$ y realizar el correspondiente análisis de rangos.

Calculemos un punto $A$ de $r$. Una manera de calcular puntos de una recta que viene expresada mediante sus ecuaciones implícitas ( o cartesianas ), determinaremos la ecuaciones paramétricas de dicha recta y daremos un valor arbitrario al parámetro del que dependen; escogiendo $z$ como variable secundaria, $z=\lambda \in \mathbb{R}$ con lo cual $$r\equiv \left\{\begin{matrix}x&+&y&&&=&\lambda-1 \\ x&+&3y&&&=&-\lambda\\ &&&&z&=&\lambda\end{matrix}\right. \overset{e_1-e_2 \rightarrow e_2}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&y&&&=&\lambda-1 \\ &-&2y&&&=&2\,\lambda-1\\ &&&&z&=&\lambda\end{matrix}\right.\sim$$
$\overset{\text{sustitución retrógrada}}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&\dfrac{4\,\lambda-3}{2} \\ &&y&&&=&\dfrac{1-2\lambda}{2} \\ &&&&z&=&\lambda\end{matrix}\right.$
Haciendo ahora $\lambda:=0$ ( por supuesto, podríamos asignarle cualquier otro valor ), encontramos $A(-\dfrac{3}{2}\,\dfrac{1}{2},0)$.

Observación: Otra forma de buscar un punto de $r$, directamente a partir de las ecuaciones implícitas, es la siguiente: Demos un valor cualquiera a una de las tres variables, pongamos que a $z$, por ejemplo $z:=0$; entonces se tiene que
$$\left\{\begin{matrix}x&+&y&-&0&+&1&=&0 \\ x&+&3y&+&0&&&=&0 \\ &&&&z&&&=&0\end{matrix} \right.$$ y por tanto $$\left\{\begin{matrix}x&+&y&&&=&-1 \\ x&+&3y&&&=&0 \\ &&&&z&=&0 \end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&-\dfrac{3}{2} \\ &&y&&&=&\dfrac{1}{2} \\ &&&&z&=&0 \end{matrix}\right.$$ que son las coordenadas de $A$

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Para encontrar un vector $\vec{u}$ que tenga la dirección de $r$ despejaremos $\lambda$ de cada una de las tres ecuaciones paramétricas, obteniendo $$r \equiv \left\{\begin{matrix}\lambda&=&\dfrac{2x+3}{4}\\ \lambda&=&\dfrac{2y-1}{-2}\\ \lambda&=&z\end{matrix}\right.\sim \left\{\begin{matrix}\lambda&=&\dfrac{x-(-3/2)}{2}\\ \lambda&=&\dfrac{y-1/2}{-1}\\ \lambda&=&\dfrac{z-0}{1}\end{matrix}\right. \sim \left\{\begin{matrix}2\cdot \lambda&=&x-(-3/2)\\ -1\cdot \lambda&=&y-1/2\\ 1\cdot \lambda&=&z-0\end{matrix}\right.$$ luego $$\vec{u}=(2,-1,1)$$

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Vamos a calcular ahora un punto $B$ de $s$; dando un valor arbitrario a $\mu$ ( pongamos que $\mu:=0$ ), obtenemos $B(1,1,0)$. Y, para calcular un vector $\vec{v}$ que tenga la dirección de la recta $s$, fijémonos en que podemos escribirla de la forma $$s\equiv \left\{\begin{matrix}1\cdot\mu&=&x-1 \\ 0\cdot \mu&=&y-1 \\ -1\cdot \mu&=&z-0\end{matrix}\right.$$ con lo cual $$\vec{v}=(1,0,-1)$$

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Encontremos ahora un vector que apunte de $r$ a $s$: el vector que apunta de $A$ a $B$ es $(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)=(\dfrac{5}{2},\dfrac{1}{2},0)$ que es combinación lineal de $(5,1,0)$ -- Nota: en adelante expresaremos ésto así, $(\dfrac{5}{2},\dfrac{1}{2},0) \propto (5,1,0)$ -- , luego tomaremos $\overset{\rightarrow}{AB}:=(5,1,0)$

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Centrémonos ahora en la discusión de rangos: $\text{rango}(\{\overset{\rightarrow}{AB},\vec{u},\vec{v}\})=\text{rango}\,\begin{pmatrix}5&1&0\\2&-1&1\\1&0&-1\end{pmatrix}=3$ ya que $\begin{vmatrix}5&1&0\\2&-1&1\\1&0&-1\end{vmatrix}=8\neq 0$, por tanto esos tres vectores son independientes, luego las rectas no están en el mismo plano y, por consiguiente, éstas se cruzan ( pero no se cortan ).

$\square$