Punto simétrico de un punto dado con respecto a un cierto plano

ENUNCIADO. Dado el punto $P(1,0,1)$ y el plano $\pi\equiv x-y+z-1=0$, calcúlense las coordenadas del punto $P'$ simétrico de $P$ con respecto del plano $\pi$

SOLUCIÓN. En primer lugar, tenemos que determinar la ecuación de la recta perpendicular a $\pi$ que pasa por $P$. Un vector en la dirección de $r$ es el vector característico del plano $\pi$, $\vec{n}=(A,B,C)=(1,-1,1)$ (lo deducimos de la ecuación general o implícita del plano, que viene dada ), y como $P(1,0,1)$ pertenece a dicha recta, podemos escribir, sin más, la ecuación de la misma en forma continua $$r\equiv \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-0}{-1}=\dfrac{z-1}{1}$$ de la cual podemos escribir las ecuaciones implícitas $$r\equiv \left\{\begin{matrix}x+y=1 \\ y+z=1\end{matrix}\right.$$, que, junto a la ecuación del plano forman un sistema de ecuaciones lineales que nos permiten calcular las coordenadas del punto de intersección $I$ de $r$ con $\pi$ $$\left\{\begin{matrix}x&+&-y&+&z&=&1\\ x&+&y&&&=&1\\ &&y&+&z&=&1\end{matrix}\right. \overset{f_2-f_1 \rightarrow \,f_1}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&+&-y&+&z&=&1\\ &&2y&-&z&=&0\\ &&y&+&z&=&1\end{matrix}\right. \overset{-2\,f_3+f_2 \rightarrow \,f_3}{\sim}$$
$$\sim \left\{\begin{matrix}x&+&-y&+&z&=&1\\ &&2y&-&z&=&0\\ &&&&-3z&=&-2\end{matrix}\right.$$ Despejando $z$ de la tercera ecuación, obtenemos $z=\dfrac{2}{3}$; sustituyendo este resultado en la segunda y despejando $y$, encontramos $y=\dfrac{1}{3}$, y sustituyendo estos dos resultados en la primera ecuación, encontramos $x=\dfrac{2}{3}$. Así pues el punto de intersección buscado es $I(\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3})$

Denotemos ahora por $P'$ el punto simétrico de $P$, que al igual que éste está también en $r$ y por tanto está alineado con $P$ e $I$, cumpliéndose que $d(P,I)=d(I,P')$; deberá cumplirse entonces que $$\overset{\rightarrow}{PP'}=2\,\overset{\rightarrow}{PI}$$ esto es $$(x_{P'}-1,y_{P'}-0,z_{P'}-1)=2\,(\dfrac{2}{3}-1,\dfrac{1}{3}-0,\dfrac{2}{3}-1)$$ en consecuencia $$\begin{matrix}x_{P'}-1=-\dfrac{2}{3} \Rightarrow x_{P'}=\dfrac{1}{3}\\ y_{P'}=\dfrac{2}{3}\\ z_{P'}-1=-\dfrac{2}{3} \Rightarrow z_{P'}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}$$ luego el punto simétrico ( con respecto al plano $\pi$ ) del punto $P$ es $P'(\dfrac{1}{3},\dfrac{2}{3},\dfrac{1}{3})$

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