Más cálculos con la distribución normal tipificada

ENUNCIADO. Siendo $Z$ una variable normal tipificada ( $Z$ siguie la distribución $N(0,1)$ ), calcúlese $$P\{|Z+1|\ge 2\}$$

Tengamos en cuenta que $|Z+1|\ge 2 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}Z+1 \ge 2 & \text{si} & Z+1 \ge 0 & \rightarrow & Z \ge 1 \\ \text{ó} \\ -(Z+1) \ge 2 & \text{si} & Z+1 \prec 0 & \rightarrow & Z \le -3 \end{matrix}\right.$

por consiguiente,

$P\{|Z+1|\ge 2\}=P\{Z \le -3\}+P\{Z \ge 1\}=$
      $=(1-P\{Z \le 3\})-(1-P\{Z \le 1\})$
        $=2-P\{Z \le 3\}-P\{Z \le 1\}$
        $=2-F(3)-F(1)$
          $\overset{(1)}{=}2-0,9987-0,8413$
            $=0,16$

(1) Consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad $F(z)$
$\square$

Un ejercicio de cálculo con la distribución normal

ENUNCIADO. Siendo $Z$ una variable normal tipificada ( $Z$ siguie la distribución $N(0,1)$ ), calcúlese $$P\{|Z-1|\le 1,5\}$$

Tengamos en cuenta que $|Z-1|\le 1,5 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}Z-1 \le 1,5 & \text{si} & Z-1 \ge 0 & \rightarrow & Z-1\le 1,5 \\ \text{ó} \\ -(Z-1) \le 1,5 & \text{si} & Z-1 \prec 0 & \rightarrow & Z-1\ge -1,5 \end{matrix}\right.$
por consiguiente,
$P\{|Z-1|\le 1,5\}=P\{-1,5 \le Z-1 \le 1,5\}=P\{-0,5 \le Z \le 2,5\}=$
  $=P\{Z \le 2,5\}-P\{Z \le -0,5\}$
    $=P\{Z \le 2,5\}-P\{Z \ge 0,5\}$
      $=P\{Z \le 2,5\}-(1-P\{Z \prec 0,5\})$
        $=P\{Z \le 2,5\}+P\{Z \prec 0,5\}-1$
        $=F(2,5)+F(0,5)-1$
          $\overset{(1)}{=}0,9938+0,6915-1$
            $=0,6853$

(1) Consultando las tablas de la función de distribución de probabilidad $F(z)$
$\square$

Cálculo de probabilidades con la distribución de probabilidad normal

Enunciado:
Sea $X$ una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media $\mu=5$ y desviación típica $\sigma=2$, lo cual denotamos por $X \sim N(5,2)$. Se pide:

    a) $P\{X \le 2'1\}$

    b) $P\{\left|X\right| \le 3'4\}$

    c) $P\{\left|X\right| \ge 3'4\}$

Observación:
Teniendo en cuenta que $X$ es una v.a. continua, es irrelevante utilizar desigualdades estrictas o débiles puesto que la probabilidad de un valor puntual, $X=k$, es cero; en otras palabras, como
$P\{X=k\}=0$, entonces podemos escribir $P\{X\le k\}=P\{X \prec k\}$ y $P\{X\ge k\}=P\{X \succ k\}$

Resolución:
a)   Tipificando la variable $X$ por medio del cambio
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$
podemos trabajar con una distribución normal $Z \sim N(0,1)$ ( distribución normal centrada, es decir, de media igual a $0$, y con desviación típica igual a $1$ ) con lo cual podremos utilizar las tablas de dicha distribución de probabilidad.

Entonces
si $X=2,1$
$Z=\dfrac{2'1-5}{2}$
    $=-1,45$
es decir
$P\{X \le 2'1\} = P\{Z \le -1'45\}$
y, atendiendo a la simetría de la función de densidad de probabilidad $f(z)$, podemos escribir
$P\{Z \le -1,45\}= 1-P\{Z \le 1'45\}$

A continuación, leemos en las tablas $N(0,1)$ que el valor de la función de distribución de probabilidad para $z=1'45$ es $F(0'45)=0'9265$, que es el valor de la probabilidad acumulada al barrer el área bajo la curva de la función $f(z)$, desde $-\infty$ hasta $1'45$, luego $P\{Z \le 1'45\}=0'9265$, luego $1-P\{Z \le 1'45\}=0'0735$

es decir
$P\{X \le 2'1\}=P\{Z \le -1'45\}=1-P\{Z \le 1'45\}=0'0735$

-oOo-

b)   Trabajaremos (como en el apartado anterior) con la v.a. normal estándar o tipificada $Z$ y, para ello, debemos hacer el cambio de variable habitual:
$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$

Para $X=3'4$, el valor que le corresponde con la tipificación es
$\dfrac{3'4-5}{2}=-0'8$
y a $X=-3'4$ le corresponde el valor
$\dfrac{-3'4-5}{2}=-4'2$


luego
$P\{| X | \le 3'4 \}=P\{ -3'4 \le X \le 3'4 \}=P\{ X \le 3'4 \} -P\{ X \le -3'4 \}=$
      $=P\{Z\le -0'8\}-P\{Z \le -4'2\}$
      $=(1-P\{Z\le 0'8\})-(1-P\{Z\le 4'2\})$
      $=P\{Z\le 4'2\}-P\{Z\le 0'8\}$
      $=F(4'2)-F(0'8)$
      $=1-0'7881$
      $=0'2119$

-oOo-
c)  
$P\{\left|X\right| \ge 3'4\}=P\{X \ge 3'4\}+P\{X \le -3'4\}=$
      $=P\{Z\ge -0'8\}+P\{Z\ge -4'2\}$
      $=(1-P\{Z \le -0'8\})+(1-P\{Z \le 4'2\})$
      $=(1-P\{Z \le -0'8\})+(1-1)$
      $=1-P\{Z \le -0'8\}$
      $=1-(1-P\{Z \le 0'8\})$
      $=P\{Z \le 0'8\}$
      $=F(0'8)$
      $=0'7881$

Y, de manera equivalente, también se llega al mismo resultado haciendo los siguientes pasos:
$P\{\left|X\right| \ge 3'4\}=P\{X \ge 3'4\}+P\{X \le -3'4\}=$
      $=(1-P\{X \le 3'4\})+P\{X \le -3'4\}$
      $=(1-P\{Z \le -0'8\})+P\{Z \le -4'2\}$
      $=\big(1-(1-P\{Z \le 0'8\})\big)+(1-P\{Z \le 4'2\})$
      $=(1-1+P\{Z \le 0'8\})+(1-P\{Z \le 4'2\})$
      $=P\{Z \le 0'8\}+(1-1)$
      $=P\{Z \le 0'8\}$
      $=F(0'8)$
      $=0'7881$

$\square$

Un ejercicio sobre distribuciones de probabilidad discretas

ENUNCIADO. Considérese la siguiente distribución de probabilidad discreta:

valor es de la variable aleatoria  |  probabilidad
----------------------------------------------------
                1                  |      0,05
                2                  |      0,3
                3                  |      0,4
                4                  |      0,2
                5                  |      0,05

Se pide:
a) Compruébese que la distribución está bien definida
b) Calcular $P\{X\le 3\}$
c) Calcular $P\{X \succ 2\})$
d) Calcular el valor de la media $\mu$
e) Calcular el valor de la desviación estándar $\sigma$

SOLUCIÓN.

a)
Veamos que se cumplen las condiciones para que la distribución de probabilidad esté bien definida:
i) $p_i \ge 0$ para todo valor de la variable aleatoria
ii) $\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\,p_i\overset{\text{?}}{=}1$, en efecto $\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\,p_i = 0,05+0,3+0,4+0,2+0,05 = 1$

b)
$P\{X\ge 3\}=P\{X = 1\}+P\{X = 2\}+P\{X = 3\}=$
                    $=0,05+0,3+0,4=$
                        $=0,65$

c)
$P\{X \succ 2\}=1-\left(P\{X=1\}+P\{X=2\}\right)=$
    $=1-(0,05+0,3)$
      $=0,65$


d)
$\mu\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sum_{i=1}^{5}\,x_{i}\,p_{i} =$
                    $=1\cdot 0,05+2\cdot 0,3+3\cdot 0,4+4\cdot 0,2+5\cdot 0,05=$
                        $=2,9$

e)
$\mu\overset{\text{def}}{=}\displaystyle \sqrt{\sum_{i=1}^{5}\,(x_{i}-\mu)^{2}\,p_i}\overset{\text{propiedad}}{=}\sqrt{\sum_{i=1}^{5}\,\left(x^{2}_{i}\,p_{i}\right)-\mu^2}$
                    $=\sqrt{(1^2\cdot 0,05+2^2\cdot 0,3+3^2\cdot 0,4+4^2\cdot 0,2+5^2\cdot 0,05)-2,9^2}$
                        $\approx 0,9434$

$\square$

Ejercicios sobre modelos de variable aleatoria

ENUNCIADO. Considérese una variable aleatoria continua, $X$, cuya función de densidad de probabilidad ( función de cuantía ) es $$f(x)=\left\{\begin{matrix}\dfrac{1}{5}&\text{si}&x \in [1,6]\subset{\mathbb{R}}\\0&\text{si}&x \notin [1,6]\subset{\mathbb{R}}\end{matrix}\right.$$ Se pide:
a) Compruébese que $f(x)$ cumple las condiciones para que sea una función de densidad y represéntese la gráfica de $f(x)$
b) Determínese la función de distribución de probabilidad $F(x)$ asociada a $f(x)$ y represéntese su gráfica
c) ¿ Cuál es la probabilidad de que $X$ tome exactamente el valor $4$ ? ¿ y de que tome exactamente el valor $3$ ?
d) Calcúlese $P\{3 \le X \le 4\}$
e) Calcúlese la media $\mu$ y la desviación estándar $\sigma$


SOLUCIÓN.
a)
Se cumplen las dos condiciones para que $f(x)$ sea una función de densidad:
  i) $f(x) \ge 0$ para todo valor de $x$ perteneciente al dominio de definición de la variable aleatoria $X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$
  ii) $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,f(x)\,dx \overset{\text{?}}{=} 1 $; en efecto,
        $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,f(x)\,dx=\int_{1}^{6}\,\dfrac{1}{5}\,dx=\left[\dfrac{x}{5}\right]_{1}^{6}=\dfrac{6}{5}-\dfrac{1}{5}=1$

b)
Teniendo en cuenta que la función de distribución de probabilidad $F(x)$ es tal que $F(x)=\displaystyle \int\,f(x)\,dx$, tenemos que $$F(x)=\left\{\begin{matrix}0&\text{si}&x \prec 1 \subset{\mathbb{R}}\\ \dfrac{1}{5}\,x+C&\text{si}&x \in [1,6]\subset{\mathbb{R}} \\ 1 &\text{si}&x \succ 6 \end{matrix}\right.$$ Falta determinar el valor de la constante de integración; teniendo en cuenta que $f(x)=0$ para $x\le 1$ y para $x\ge 6$, de una u otra condición indistintamente, se deduce que el valor de la misma; en efecto, sabemos que $F(1)=0$, y, por otra parte, $F(1)=\dfrac{1}{5}+C$, luego $\dfrac{1}{5}+C=0$, de donde se deduce que $C=-\dfrac{1}{5}$. De la misma manera, $F(6)=1=\dfrac{1}{5}\cdot 6+C \Rightarrow C=1-\dfrac{6}{5}=-\dfrac{1}{5}$
En consecuencia, $F(x)=\displaystyle \int\,f(x)\,dx$, tenemos que $$F(x)=\left\{\begin{matrix}0&\text{si}&x \prec 1 \subset{\mathbb{R}}\\ \dfrac{1}{5}\,(x-1)&\text{si}&x \in [1,6]\subset{\mathbb{R}} \\ 1 &\text{si}&x \succ 6 \end{matrix}\right.$$

c)
Como la distribución es continua, $P\{X=3\}=P\{X=4\}=0$

d)
$P\{3 \le X \le 4\}=P\{X \le 4\}-P\{X \prec 3\}=P\{X \le 4\}-P\{X \le 3\}=$
  $=\displaystyle \int_{-\infty}^{4}\,f(x)\,dx-\int_{-\infty}^{3}\,f(x)\,dx=F(4)-F(3)=$
    $=\dfrac{1}{5}\,(4-1)-\dfrac{1}{5}\,(3-1)=\dfrac{1}{5}\,(3-2)=\dfrac{1}{5}$


e)
$\displaystyle \mu \overset{\text{def}}{=} \int_{-\infty}^{+\infty}\,x\,f(x)\,dx=\int_{1}^{6}\,\dfrac{x}{5}\,dx=\left[\dfrac{x^2}{10}\right]=\dfrac{6^2}{10}-\dfrac{1^2}{10}=\dfrac{7}{2}$


$\displaystyle \sigma \overset{\text{def}}{=} \sqrt{\int_{-\infty}^{+\infty}\,(x-\mu)^2\,f(x)\,dx} \overset{\text{propiedad}}{=} \sqrt{\left(\int_{-\infty}^{+\infty}\,x^2\,f(x)\,dx\right)-\mu^2}$
  $\displaystyle =\sqrt{\left(\int_{1}^{6}\,\dfrac{x^2}{5}\,dx\right)-\left(\dfrac{7}{2}\right)^2}=\sqrt{\left[\dfrac{x^3}{15}\right]_{1}^{6}-\left(\dfrac{7}{2}\right)^2}=$
    $\displaystyle =\sqrt{\dfrac{43}{3}-\dfrac{49}{4}}=\sqrt{\dfrac{25}{12}}=\dfrac{5}{2\,\sqrt{3}}$

$\square$

Otro ejercicio de cálculo ( básico ) de probabilidades

ENUNCIADO. Una urna contine $3$ bolas blancas, $4$ verdes y $5$ rojas. Se extraen tres bolas, de manera sucesiva y con reemplazamiento. Calcular la probabilidad que obtener exactamente $2$ bolas blancas y $1$ bola verde.

SOLUCIÓN. Denotemos por $A$ al suceso pedido. Entonces, por la regla de Laplace, $P(A)=\dfrac{N(A)}{N}$, donde $N(A)=\text{PR}_{3}^{2,1}\cdot \text{VR}_{3,2}\cdot \text{VR}_{4,1}\cdot \text{VR}_{5,0}=108$ y $N=\text{VR}_{3+4+5,3}=12^3=1728$

Sustituyendo los datos y haciendo los cálculos, $P(A)=\dfrac{1}{16}$

-oOo-
Otra forma de enfocar el problema consiste en verlo como un caso de probabilidad multinomial ( pruebas repetidas independientes con más de dos posibles resultados en cada realización ), por tanto
$$P(x_1,x_2,x_3)=\dfrac{(x_1+x_2+x_3)!}{x_{1}!\,x_{2}!\,x_{3}!\,x_{4}!}\,p_{1}^{x_1}\,p_{1}^{x_2}\,p_{2}^{x_2}\,p_{3}^{x_3}$$ en nuestro caso, con $x_1=3$, $x_2=1$ y $x_3=0$, siendo $p_1=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4}$, $p_{2}=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$ y $p_{3}=\dfrac{5}{12}$; en consecuencia,

$$P(3,1,0)=\dfrac{(3+1+0)!}{3!\cdot 1!\cdot 0!}\cdot (\dfrac{1}{4})^3\cdot (\dfrac{1}{3})^1\cdot (\dfrac{5}{12})^0 = \dfrac{1}{16}$$

  $\square$

Un ejercicio acerca de un modelo de población

ENUNCIADO. Un cierto modelo de población proporciona la siguiente función de variación instantánea $$f(x)=x+1$$ donde los valores de dicha función se expresan en decenas de individuos / año; y, los valores de $x$, en años, siendo $0 \le x \le 10$ años.

Se pide:

a) La función $F(x)$ que da el número de decenas de individuos de la población que hay cada año $x$, sabiendo que la población en el primer año, $x=0$, fue de $2$ decenas de individuos. ¿ Cántas decenas de individuos hubo en el undécimo año ( $x=10$ ) ?

b) La tasa de variación relativa de la población entre el quinto año ( $x=4$ ) y el séptimo año ( $x=6$ ), expresada en tanto por ciento.

SOLUCIÓN.
a)
Teniendo en cuenta el significado de las funciones $f$ y $F$ ( la segunda es una primitiva de la primera ) , podemos escribir que $F(x)=\displaystyle \int\,f(x)\,dx = \displaystyle \int \,(x+1)\,dx = \dfrac{1}{2}\,x^2+x+C$ y como $F(0)=2$, tenemos que $2=\dfrac{1}{2}\cdot 0 +0+C \Rightarrow C=2$, con lo cual $F(x)=\dfrac{1}{2}\,x^2+x+2$. Así que $F(10)=\dfrac{1}{2}\cdot 10^2+10+2 = 62$ decenas de individuos.

b)
Primero, calcularemos a variación absoluta entre el tercer y el quinto año:
$$\displaystyle \left|\int_{4}^{6}\,(x+1)\,dx\right| \overset{\text{Barrow}}{=} F(6)-F(4)=$$
    $= \left|\left(\dfrac{1}{2}\cdot 6^2+6+2\right)-\left(\dfrac{1}{2}\cdot 4^2+4+2\right)\right|=12\, \text{decenas de individuos}$

Y, finalmente, a partir de la variación absoluta y del valor inicial, calculamos la variación relativa $$\dfrac{\left|F(6)-F(4)\right|}{|F(4)|}=\dfrac{12}{\frac{1}{2}\cdot 4^2+4+2}=\dfrac{6}{7}\approx 86\,\%$$

$\square$

Cálculo de integrales definidas

ENUNCIADO. Calcúlese la integral definida $$\displaystyle \int_{-2}^{2}\,f(x)\,dx$$ donde $$f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2+1 & \text{si} & x \prec 0 \\ -x+3 & \text{si} & x \ge 0\end{matrix}\right.$$

SOLUCIÓN.
$\displaystyle \int_{-2}^{2}\,f(x)\,dx=\int_{-2}^{0}\,(x^2+1)\,dx+\int_{0}^{2}\,(-x+3)\,dx=$
    $=\left[\dfrac{1}{3}\,x^3+x\right]_{-2}^{0}+\left[-\dfrac{1}{2}\,x^2+3x\right]_{0}^{2}=$
        $=\left(\dfrac{1}{3}\,0^3+0\right)-\left(\dfrac{1}{3}\,(-2)^3+(-2)\right)+\left(-\dfrac{1}{2}\,2^2+3\cdot 2\right)-\left(-\dfrac{1}{2}\,0^2+3\cdot 0\right)=\dfrac{26}{3}$
$\square$

Cálculo del área de una región del plano delimitada entre dos curvas

ENUNCIADO. Calcúlese el área de la región del plano delimitada por las funciones $f(x)=x^3+2x^2-x-2$ y $g(x)=x+2$


SOLUCIÓN. Dadas las gráficas de dos funciones continuas $\phi(x)$ y $\theta(x)$, y siendo $\{x_1,x_2,\ldots,x_k\}$ el conjunto de abscisas de los puntos de intersección entre las dos curvas, el área de la región del plano comprendida entre éstas se calcula de la forma $$\mathcal{A}=\displaystyle \left| \int_{x_1}^{x_2}\,(f(x)-g(x))\,dx\right|+\left| \int_{x_2}^{x_3}\,(f(x)-g(x))\,dx\right|+\overset{\underbrace{k-1}}{\ldots}+\left| \int_{x_{k-1}}^{x_k}\,(f(x)-g(x))\,dx\right|$$

Veamos pues cuáles las abscisas de los puntos de corte entre las funciones dadas $f(x)$ y $g(x)$:
Imponiendo la condición de corte, $$f(x)=g(x)$$ luego $$f(x)-g(x)=0$$ y por tanto $$x^3+2x^2-2x-4=0$$ esto es $$(x-(-2))(x-(-|\sqrt{2}|))(x-|\sqrt{2}|)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_1=-2 \\ x_2=-|\sqrt{2}| \\ x_3=|\sqrt{2}| \end{matrix}\right.$$ En consecuencia $$\displaystyle \mathcal{A}=\left| \int_{-2}^{-|\sqrt{2}|}\,(x^3+2x^2-2x-4)\,dx\right|+\left| \int_{-|\sqrt{2}|}^{|\sqrt{2}|}\,(x^3+2x^2-2x-4)\,dx\right|$$ Una función primitiva asociada a la función $f(x)-g(x)=x^3+2x^2-2x-4$ es $F(x)=\dfrac{1}{4}\,x^4+\dfrac{2}{3}\,x^3-x^2-4x$, luego, por la regla de Barrow,
$\displaystyle \mathcal{A}=\left|F(-2)-F(-|\sqrt{2}|)\right|+\left|F(|\sqrt{2}|)-F(-|\sqrt{2}|)\right|=$
      $\ldots=\dfrac{24\,|\sqrt{2}|-11}{3}\,\text{unidades de área}$
$\square$

Cálculo de primitivas

ENUNCIADO. Calcular las siguientes integrales indefinidas:
      a) $\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{x^3-2x^2+x}$       b) $\displaystyle \int \, \text{cotan}\,x\,dx$

SOLUCIÓN.
a)
El polinomio del denominador se puede factorizar de la forma $x\,(x-1)^2$, así pues, $$\dfrac{1}{x\,(x-1)^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}
+\dfrac{C}{(x-1)^2}$$ por lo que deberá cumplirse el siguiente sistema de ecuaciones lineales $$\left\{\begin{matrix}A&+&B&&&=&0 \\ -2A&-&B&+&C&=&0 \\ A&&&&&=&1\end{matrix} \right.$$ cuya solución es $$\left\{\begin{matrix}A&&&&&=&1 \\ &&B&&&=&-1 \\ &&&&C&=&1\end{matrix} \right.$$ Entonces podemos escribir que
$\displaystyle \int\,\dfrac{dx}{x^3-2x^2+x}=\int\,\dfrac{dx}{x}+\int\,\dfrac{(-1)\,dx}{x-1}+\int\,\dfrac{dx}{(x-1)^2}\overset{\text{integrales inmediatas}}{=}$
$$=\ln\,|x|-\ln\,|x-1|-\dfrac{1}{x-1}+C$$

b)
$\displaystyle \int \, \text{cotan}\,x\,dx=\int \, \dfrac{\cos\,x}{\sin\,x}\,x\,dx \overset{(1)}{=} \int\,\dfrac{dt}{t}=\ln\,t+C\overset{(2)}{=}\ln \,(|\sin\,x|) + C$

(1): Cambio de variable $t:=\sin\,x$, luego $dt=\cos\,x\,dx$
(2): Deshaciendo el cambio de variable (1)

Cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. Se extraen de forma sucesiva y sin reemplazamiento tres cartas de una baraja española compuesta de 40 cartas ( se han descartado los ochos y los nueves ). Calcúlese la probabilidad de que las tres sean del mismo palo [Nota: en una baraja española hay 4 palos: bastos, oros, copas y espadas, y cada palo tiene el mismo número de cartas]

SOLUCIÓN.
Vamos a resolver el problema de dos maneras distintas, llegando, claro está, a la misma solución. La primera, corresponde al método directo de aplicación de la combinatoria y la regla de Laplace, y la segunda, a un proceso constructivo, sencillo y eficiente.

Procedimiento I.
Hay $\binom{4}{3}$ posibilidades a la hora de escoger los tres palos, y para cada uno de ellos $\text{V}_{10,3}$ maneras de escoger tres cartas distintas de un mismo palo, por lo que el números de casos favorables al suceso pedido es igual a $\binom{4}{3}\cdot\text{V}_{10,3}$. Por otra parte, en total, tenemos $\text{V}_{40,3}$ posibilidades de escoger tres cartas cualesquiera. Así pues, por la regla de Laplace, la probabilidad pedida es igual a $$\dfrac{\binom{4}{3}\cdot\text{V}_{10,3}}{\text{V}_{40,3}}=\dfrac{4\cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{40\cdot 39 \cdot 38}=\dfrac{12}{247} \approx 0,0486$$

-oOo-
Procedimiento II.
Otra forma de pensar el problema pasa por aplicar la probabilidad compuesta, considerando por tanto las situaciones precedentes que suponemos se han hecho ya efectivas: al extraer la primera carta, la probabilidad de que sea de un cierto palo, pongamos que el de bastos, es de $\dfrac{10}{40}$, pues hay $10$ cartas de bastos y $40$ cartas en total. A la hora de extraer la segunda, quedan $39$ cartas en la baraja, de las cuales $9$ son de bastos, luego la probabilidad de extraer una segunda carta de bastos es $\dfrac{9}{39}$; y, haciendo el razonamiento análogo a la hora de pensar la extracción de la tercera carta de bastos, vemos que su probabilidad es de $\dfrac{8}{38}$. En consecuencia, la probabilidad de sacar tres cartas de bastos es de $\dfrac{10}{40} \cdot \dfrac{9}{39}\cdot \dfrac{8}{38}$. Ahora bien, como no sólo podemos elegir el palo de bastos sino cualquiera de los cuatro, el número de maneras de elegir palo es $4$, con lo cual, la probabilidad pedida es $4\cdot \dfrac{10}{40} \cdot \dfrac{9}{39}\cdot \dfrac{8}{38}$ que es igual a la calculada mediante el método directo: $$\dfrac{12}{247}$$

$\square$

Cálculos de probabilidad condicionada. Independencia de sucesos. Sucesos incompatibles.

ENUNCIADO. Considérense dos sucesos $A$ y $B$ asociados a una cierta experiencia aleatoria tales que $P(B)=\dfrac{1}{3}$, $P(A)=\dfrac{2}{5}$ y $P(\bar{A}|B)=\dfrac{2}{3}$. Averígüese si:
a) Averígüese si $A$ y $B$ son independientes
b) Averígüese si $A$ y $B$ son incompatibles
c) Calcúlese $P(A|\bar{B})$
d) Calcúlese $P(A \cup B)$

SOLUCIÓN.
a) Sabemos que $A$ y $B$ son independientes si y sólo si $P(A|B)=P(A)$ y $P(B|A)=P(B)$. Veamos si se cumple la condición necesaria; como $P(\bar{A}|B)=1-P(A|B)$, tenemos que $P(A|B)=1-P(\bar{A}|B)$, esto es, $P(A|B)=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3} \neq P(A)$, en consecuencia $A$ y $B$ no son independientes.

b) Para que $A$ y $B$ sean incompatibles se ha de cumplir que $P(A \cap B)=0$; sin embargo, $P(A\cap B)\overset{\text{def}}{=}P(A|B)P(B)=\dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{3})=\dfrac{1}{9}\neq 0$, luego $A$ y $B$ no son incompatibles.

c) $P(A|\bar{B})\overset{\text{def}}{=}\dfrac{P(A \cap \bar{B})}{P(\bar{B})}=\dfrac{P(A)-P(A\cap B)}{1-P(B)}=\dfrac{2/5-1/9}{1-1/3}=\dfrac{13}{20}$

d) $P(A \cup B)\overset{\text{inclusión-exclusión}}{=}P(A)+P(B)-P(A \cap B)=\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{9}=\dfrac{28}{45}$

$\square$

Cálculo de probabilidades. Extracciones sucesivas con reemplazamiento.

ENUNCIADO. Extraemos de forma sucesiva y con reposición ( con reemplazamiento ) $5$ cartas de una baraja española de $40$ cartas ( se han descartado los ochos y los nueves ). ¿ Cuál es la probabilidad de obtener a lo sumo $3$ figuras ? [Nota: Una figura puede ser sota, caballo o bien rey]

SOLUCIÓN. La probabilidad de obtener figura es $p=\dfrac{3\cdot 4}{40}=\dfrac{3}{10}$ y por tanto la probabilidad de obtener una carta que no sea figura es $1-p=\dfrac{7}{10}$.

Entonces, la probabilidad de que, sacando $5$ cartas, obtengamos exactamente $3$ figuras y $2$ no figuras es igual a $$\displaystyle \binom{5}{3}\,p^3\cdot (1-p)^2$$ ( aplicando la probabilidad compuesta y teniendo en cuenta que hay $\binom{5}{3}$ maneras de disponer tres figuras en un grupo de cinco cartas, sin que importe el orden ); la probabilidad de que obtengamos exactamente $2$ figuras y $3$ no figuras es igual a $$\displaystyle \binom{5}{2}\,p^2\cdot (1-p)^3$$ la probabilidad de que, sacando $5$ cartas, obtengamos exactamente $1$ figura y $4$ no figuras es igual a $$\displaystyle \binom{5}{1}\,p^1\cdot (1-p)^4$$ y la probabilidad de que, sacando $5$ cartas, obtengamos exactamente $0$ figuras y $4$ no figuras es igual a $$\displaystyle \binom{5}{0}\,p^0\cdot (1-p)^5$$

En consecuencia la probabilidad de obtener como máximo ( a lo sumo ) tres figuras es igual a la suma de esas probabilidades
$$\displaystyle \binom{5}{3}\,p^3\cdot (1-p)^2+\displaystyle \binom{5}{2}\,p^2\cdot (1-p)^3+\displaystyle \binom{5}{1}\,p^1\cdot (1-p)^4+\displaystyle \binom{5}{0}\,p^0\cdot (1-p)^5 \approx 0,9692$$ $\square$

Aplicaciones del teorema de la probabilidad total y del teorema de Bayes

Sobre una enfermedad infecciosa asintomática se sabe que la tiene un $4\,\%$ de la población. Un cierto test de diagnóstico es capaz de detectar la infección en el $95\,\%$ de las personas que están realmente infectadas, pero da como infectadas a un $5\,\%$ de las personas que en realidad no lo están. Calcular la probabilidad de que, elegida una persona al azar:
a) Dé positivo en el test
b) Habiendo dado positivo en el test, no tenga la enfermedad ( falso positivo )
c) Habiendo dado positivo en el test, tenga la enfermedad

SOLUCIÓN.
a)
Una partición del espacio muestral $\Omega$ (asociado a la experiencia aleatoria 'elegir una persona al azar') viene dada por $\{E,\bar{E}\}$, donde $E$ representa el suceso "tener la enfermedad" y $\bar{E}$ el suceso "no tener la enfermedad". Sea $D$ el suceso, "dar positivo en el test". Entonces, por el teorema de la probabilidad total, podemos escribir $$P(D)=P(D|E)P(E)+P(D|\bar{E})P(\bar{E})$$ así que, poniendo los datos del problema, encontramos $$P(D)=0,95\cdot 0,04+0,05\cdot (1-0,04)=0,086$$

b)
Aplicando el teorema de Bayes, $$P(\bar{E}|D)=\dfrac{P(D|\bar{E})P(\bar{E})}{P(D)}= \dfrac{0,05\cdot (1-0,04)}{0,086}=0,5581$$

c)
$$P(E|D)=1-P(\bar{E}|D)=1-0,5581=0,4419$$ que, de forma alternativa, también podemos calcular aplicando, otra vez, el teorema de Bayes: $$P(E|D)=\dfrac{P(D|E)P(E)}{P(D)}= \dfrac{0,95\cdot 0,04}{0,086}=0,4419$$

$\square$

Cálculo de probabilidades

ENUNCIADO. Se extraen tres cartas ( de forma sucesiva y sin reemplazamiento ) de una baraja española compuesta de $40$ cartas ( se han descartado los ochos y los nueves ). Calcúlese la probabilidad de que:
a) Al menos dos sean del mismo palo.
b) Las tres sean del palo de bastos. [Nota: en una baraja española hay $4$ palos: bastos, oros, copas y espadas, y cada palo tiene el mismo número de cartas]

SOLUCIÓN.
a)
Calcularemos, primero, la probabilidad de que las tres cartas extraídas sean de distinto palo, y, finalmente, obtendremos la probabilidad del suceso contrario, que corresponde a la probabilidad de que al menos dos cartas sean del mismo palo.

1.º Probabilidad de que las tres cartas sean de palos distintos:
Supongamos un determinado palo, entonces la primera carta, de ese palo, podemos elegirla de $10$ maneras, de un total de $40$, así que la probabilidad de que la primera carta sea de dicho palo es de $\dfrac{10}{40}$. Veamos ahora la segunda carta, si ésta no tiene que ser del palo de la primera carta extraída, podremos elegir entre las $(40-1)-(10-1)=30$ cartas restantes ( ya no contamos con las cartas del primer palo ), de un total de $40-1=39$ cartas ( pues, lógicamente, hemos descartado la primera carta extraída del mazo ), con lo cual la probabilidad que la segunda carta no sea del mismo palo que la primera es de $\dfrac{30}{39}$. Por lo que respecta a la tercera carta, que no puede ser ni del palo de la primera ni del de la segunda, tenemos $(40-2)-(10-1)-(10-1)=20$ posibilidades a la hora de elegirla, de un total de $40-2=38$ cartas que quedan en el mazo, luego la probabilidad de que la tercera carta no sea ni del palo de la primera ni del palo de la segunda es de $\dfrac{30}{38}$. Por otra parte, podemos elegir tres palos de entre cuatro que hay en total de $\binom{4}{3}=4$, en consecuencia, la probabilidad de que las tres cartas sean de distintos palos es igual a $$\binom{4}{3}\cdot \dfrac{10}{40} \cdot \dfrac{30}{39} \cdot \dfrac{20}{38}$$

2.º Probabilidad de que al menos dos de las tres cartas sean del mismo palo:
Finalmente, calculando la probalilidad del suceso contrario, obtenemos la probabilidad pedida: $$1-\binom{4}{3}\cdot \dfrac{10}{40} \cdot \dfrac{30}{39} \cdot \dfrac{20}{38}=\dfrac{147}{247}\approx 0,5951$$

b)
Vamos a aplicar la probabilidad compuesta; para ello consideraremos, en las sucesivas extracciones, las situaciones precedentes a una dada que suponemos se han hecho ya efectivas: al extraer la primera carta, la probabilidad de que sea de un cierto palo, pongamos que el de bastos, es de $\dfrac{10}{40}$, pues hay $10$ cartas de bastos y $40$ cartas en total. A la hora de extraer la segunda, quedan $39$ cartas en la baraja, de las cuales $9$ son de bastos, luego la probabilidad de extraer una segunda carta de bastos es $\dfrac{9}{39}$; y, haciendo el razonamiento análogo a la hora de pensar la extracción de la tercera carta de bastos, vemos que su probabilidad es de $\dfrac{8}{38}$. En consecuencia, la probabilidad de sacar tres cartas de bastos es de $\dfrac{10}{40} \cdot \dfrac{9}{39}\cdot \dfrac{8}{38}=\dfrac{3}{247}\approx 0,0121$.

Análisis y representación de funciones

ENUNCIADO. Considérese la función $f(x)=-x^3+x+2$. Se´ pide:ç
a) Hállense los máximos y mínimos locales de dicha función
b) Hállense los puntos de inflexión
c) Determínese la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto de abscisa $x=0$
d) Hágase un esbozo de la gráfica de la función $f(x)$ así como de la recta tangente pedida en el apartado anterior

SOLUCIÓN.
a) El conjunto de abscisas de los extremos relativos: $\{x \in \text{Dom}\,f:f'(x)=0\}$
Impongamos la condición necesaria para que $x\in \text{Dom}\,f$ sea la abscisa de un extremo relativo $$f'(x)=0$$ esto es $$-3x^2+1=0 \Leftrightarrow x \in \{ -\dfrac{1}{|\sqrt{3}|} \, , \, \dfrac{1}{ |\sqrt{3}|} \}$$

A continuación, procedemos a ver cuál es la naturaleza de dichos extremos relativos; para ello, emplearemos el criterio del signo de la segunda derivada, $f''(x)=-6x$, en cada uno de dichos puntos. Es evidente que $f''( -\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}) \succ 0$, luego hay un mínimo local en el punto de abscisa $x_{1}^*=-\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}\approx -0,6$, siendo la ordenada de dicho punto $y_{1}^{*}\equiv f(x_{1}^{*}) = 2- \dfrac{2}{9}\cdot |\sqrt{3}| \approx 1,6$. Por otra parte, como es claro que $f''( \dfrac{1}{|\sqrt{3}|}) \prec 0$, hay un máximo local en el punto de abscisa $x_{1}^*=\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}\approx 0,6$, y el valor de la ordenada que le corresponde es ordenada de dicho punto $y_{2}^{*}\equiv f(x_{2}^{*}) = 2+ \dfrac{2}{9}\cdot |\sqrt{3}| \approx 2,4$

b)
Para encontrar los puntos de inflexión, imponemos la condición necesaria: $f''(x)=0$, que en el caso de la función concreta en este problema es $-6x=0$. Así pues $x_{p.i.}=0$, luego $y_{p.i.}\equiv f(x_{p.i.})=f(0)=2$

c)
La ecuación de la recta tangente es $r.t.\equiv y=mx+k$, donde la pendiente $m$ es el valor de la función derivada $f'(x)=-3x^2+1$ en el punto pedido, $x=0$; esto es $f'(0)=0+1=1$. Así pues $r.t.\equiv y=x+k$. Falta ahora calcular el valor de $k$, que determinaremos teniendo en cuenta que, en $x=0$, las ordenadas de la función $f$ y de la recta han de ser iguales, por lo que $f(0)=0+k$ y por tanto $k=2$. En consecuencia, la recta tangente pedida es $r.t.\equiv y=x+2$

d)
Reuniendo los elementos de análisis que hemos encontrado, y teniendo en cuenta además que, por el teorema de Bolzano, $f(x)$ tiene una raíz en el intervalo $[1,2]\subset \mathbb{R}$, pues los valores de función cambian de signo en los extremos del mismo, $f(1)\succ 0$ y $f(2)\prec 0$; por lo demás, sólo puede haber una raíz, pues no hemos encontrado otro mínimo local a la derecha de $x_{2}^{*}=\dfrac{1}{|\sqrt{3}|}$. Ésto basta para dibujar el siguiente esbozo:

$\square$

Geometría del espacio afín euclídeo

ENUNCIADO. Dado el punto $P(3,1,-2)$ y el plano $\pi\equiv x-y+z-1=0$, se pide:

a) Determínense las coordenadas del punto $P'$, simétrico de $P$ con respecto de $\pi$, y calcúlese la distancia de $P$ a $\pi$ así como la de $P$ a $P'$

b) Elíjase un punto $Q$ de $\pi$ y, a continuación, calcúlese el área del tríangulo $\triangle{OPQ}$, siendo $O$ el origen de coordenadas

SOLUCIÓN.
a) Siendo $I$ el punto de intersección de la recta $r$ perpendicular a $\pi$ y que contiene a $P$ y a $P'$, entonces $\overset{\rightarrow}{PP'}=2\,\overset{\rightarrow}{PI} \quad \quad (1)$

Un vector en la dirección de $r$ es el vector característico del plano $\vec{n}=(1,-1,1)$; y, como $P(3,1,-2)$ está en $r$, podemos escribir fácilmente la ecuación de la recta $r$ en forma continua: $r\equiv \dfrac{x-3}{1}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-(-2)}{1}$, y de esta doble igualdad, deducimos unas ecuaciones implícitas de dicha recta: $$r\equiv \left\{\begin{matrix}x-1=\dfrac{y-1}{-1}\\ \\ x-3=z+2\end{matrix}\right.$$ que, junto con la ecuación del plano, forman un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas cuya solución nos da las coordenadas del punto $I = r \cap \pi$ $$I\equiv \left\{\begin{matrix}x&-&y&+&z&=&1 \\ x&+&y&&&=&4 \\ x&&&-&z&=&5 \end{matrix}\right. \overset{\text{Gauss}}{\sim} \left\{\begin{matrix}x&&&&&=&10/3 \\ &&y&&&=&2/3 \\ &&&&z&=&-5/3 \end{matrix}\right. $$ Así, pues, $I(10/3,2/3/-5/3)$. Ahora, de (1): $$\left(x_{P'}-3,y_{P'}-1,z_{P'}-(-2)\right)=2\,\left(\dfrac{10}{3}-3,\dfrac{2}{3}-1,-\dfrac{5}{3}-(-2)\right)$$ y por tanto $$\left\{\begin{matrix}x_{P'}-3=\dfrac{2}{3} \\ y_{P'}-1=-\dfrac{2}{3}\\z_{P'}-(-2)=\dfrac{2}{3} \end{matrix}\right.$$ sistema desacoplado del cual deducimos fácilmente que $$\left\{\begin{matrix}x_{P'}=\dfrac{11}{3} \\ y_{P'}=\dfrac{1}{3}\\z_{P'}=-\dfrac{4}{3} \end{matrix}\right.$$ así pues encontramos $P'\left(\dfrac{11}{3},\dfrac{1}{3},-\dfrac{4}{3}\right)$

Veamos ahora las distancias pedidas: $d(P,P')=2\,d(P,\pi)$ y como $$d(P,P')=\left\| \overset{\rightarrow}{PP'}\right\| = \left| \sqrt{ \left( \dfrac{11}{3}-3\right)^2+\left(\dfrac{1}{3}-1\right)^2+\left(-\dfrac{4}{3}-(-2)\right)^2} \right|=\dfrac{2}{\left|\sqrt{3} \right|}$$ tenemos que $$d(P,\pi)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{2}{\left|\sqrt{3} \right|} = \dfrac{1}{\left|\sqrt{3} \right|}$$

Nota. Otra forma de calcular estas distancias, sin tener que calcular las coordenadas de $P'$, es la siguiente $$d(P,\pi)=\left|\dfrac{A\,x_P+B\,y_P+C\,z_P+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\right|$$ luego, con los datos del problema, $$d(P,\pi)=\left|\dfrac{1\cdot 3-1\cdot (-1) +(-2)\cdot 1+(-1) }{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}\right|=\dfrac{1}{\left|\sqrt{3}\right|}$$ luego $$d(P,P')=2\,d(P,\pi)=2\cdot \dfrac{1}{\left|\sqrt{3}\right|}=\dfrac{2}{\left|\sqrt{3}\right|}$$

b) Un punto de $\pi$ es $Q(0,0,1)$, pues sus coordenadas satisfacen la ecuación del plano dado $\pi\equiv x-y+z-1=0$; en efecto, $0-0+1-1=0$. Sabemos que el área pedida viene dada por $$\mathcal{A}_{\triangle{OPQ}}=\dfrac{1}{2}\,\left\|\overset{\rightarrow}{OP}\times \overset{\rightarrow}{OQ}\right\|$$ Teniendo en cuenta que $\overset{\rightarrow}{OP}=(3-0,1-0,-2-0)=(3,1,-2)$ y que $\overset{\rightarrow}{OQ}=(0-0,0-0,1-0)=(0,0,1)$ vemos que $$ \overset{\rightarrow}{OP}\times \overset{\rightarrow}{OQ} = \begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\3&1&-2\\0&0&1\end{vmatrix}=-\vec{i}+3\,\vec{j}=(-1,3,0)$$ donde $\vec{i}=(1,0,0)$, $\vec{j}=(0,1,0)$ y $\vec{k}=(0,0,1)$ son los vectores de la base canónica $\mathbb{R}^3$. Así pues $\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\cdot \left|\sqrt{(-1)^2+3^2+0^2}\right|= \dfrac{1}{2}\cdot \left|\sqrt{10}\right|$ unidades de área. $\square$

Cálculo del área delimitada entre dos curvas

ENUNCIADO. Calcúlese el área de la región del plano delimitada por las funciones $f(x)=x^3+3$ y $g(x)=x+3$

SOLUCIÓN. Dadas las gráficas de dos funciones continuas $\phi(x)$ y $\theta(x)$, y siendo $\{x_1,x_2,\ldots,x_k\}$ el conjunto de abscisas de los puntos de intersección entre las dos curvas, el área de la región del plano comprendida entre éstas se calcula de la forma $$\mathcal{A}=\displaystyle \left| \int_{x_1}^{x_2}\,(f(x)-g(x))\,dx\right|+\left| \int_{x_2}^{x_3}\,(f(x)-g(x))\,dx\right|+\overset{\underbrace{k-1}}{\ldots}+\left| \int_{x_{k-1}}^{x_k}\,(f(x)-g(x))\,dx\right|$$

Veamos pues cuáles las abscisas de los puntos de corte entre las funciones dadas $f(x)$ y $g(x)$:
Imponiendo la condición de corte, $$f(x)=g(x)$$ luego $$f(x)-g(x)=0$$ y por tanto $$x^3-x=0$$ esto es $$x\,(x^2-1)=0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x_1=-1 \\ x_2=0 \\ x_3=1\end{matrix}\right.$$ En consecuencia $$\displaystyle \mathcal{A}=\left| \int_{-1}^{0}\,(x^3-x)\,dx\right|+\left| \int_{0}^{1}\,(x^3-x)\,dx\right|$$ Una función primitiva de $f(x)-g(x)=x^3-x$ es $\dfrac{1}{4}\,x^4-\dfrac{1}{2}\,x^2$, luego, por la regla de Barrow,
$\displaystyle \mathcal{A}=\left| \left(\dfrac{1}{4}\cdot 0^4 -\dfrac{1}{2}\cdot 0^2 \right)-\left(\dfrac{1}{4}\cdot (-1)^4 -\dfrac{1}{2}\cdot (-1)^2 \right)\right|+$
                   $+\left| \left(\dfrac{1}{4}\cdot 1^4 -\dfrac{1}{2}\cdot 1^2 \right)-\left(\dfrac{1}{4}\cdot 0^4 -\dfrac{1}{2}\cdot 0^2 \right)\right|=$
                         $=\left|-\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\right)\right|+\left|\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{2}\right|=$
                               $=\left|-(-\dfrac{1}{4})\right|+\left|-\dfrac{1}{4}\right|=$
                                    $=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}$
                                          $=\dfrac{1}{2}$ unidades de área
$\square$

Extracciones sucesivas de bolas de una urna, con reemplazamiento

ENUNCIADO. En una urna hay bolas del mismo tamaño, peso y textura; tres son blancas, 4 son negras y 5 son rojas. Extraemos tres bolas, una tras otra, devolviendo a la urna las que vamos sacando antes de extraer la siguiente. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener una bola de cada color ?

SOLUCIÓN. Realizamos extracciones sucesivas con reemplazamiento. Como cada bola, independientemente de su color, es distinguible de las demás ( por ejemplo, podemos numerarlas ), podemos aplicar la regla de Laplace, con lo cual
$\displaystyle P($"tres bolas de distinto color"$)=\dfrac{P_3\cdot \text{VR}_{3,1}\cdot \text{VR}_{5,1}\cdot \text{VR}_{4,1}}{\text{VR}_{12,3}}=\dfrac{3!\cdot 3\cdot 5 \cdot 4}{12^3}=\dfrac{5}{24}$

$\square$

Extracciones sucesivas de bolas de varios colores sin reemplazamiento

ENUNCIADO. En una urna hay bolas del mismo tamaño, peso y textura; tres son blancas, 4 son negras y 5 son rojas. Extraemos tres bolas a la vez. ¿ Cuál es la probabilidad de obtener una bola de cada color ?

SOLUCIÓN. Extraer tres bolas a la vez es equivalente a hacer extracciones sucesivas sin reemplazamiento. Como cada bola, independientemente de su color, es distinguible de las demás ( por ejemplo, podemos numerarlas ), podemos aplicar la regla de Laplace, con lo cual
      $\displaystyle P($"tres bolas de distinto color"$)=\dfrac{\binom{3}{1}\cdot \binom{4}{1}\cdot \binom{5}{1}}{\binom{12}{3}}=\dfrac{3}{11}$
$\square$

Ejercicios de integración

ENUNCIADO.
I) Calcular las siguientes integrales indefinidas:
a) $\displaystyle \int \,\dfrac{dx}{x^2+4}$       b) $\displaystyle \int\,x\,e^x\,dx$
II) Calcular la integral definida $\displaystyle \int_{-1}^{1}\,(2x-5)^5\,dx$

SOLUCIÓN.
I.a)
Esta integral es semi inmediata, pues es sabido que $\displaystyle \int \,\dfrac{dx}{x^2+1}=\arctan\,x+C$; así que basta con hacer unos arreglos para calcular la familia de primitivas que corresponde a la función del integrando:
$\displaystyle \int \,\dfrac{dx}{x^2+4}=\dfrac{1}{4}\,\int \,\dfrac{dx}{x^{2}/4+4/4}=\dfrac{1}{4}\,\int \,\dfrac{dx}{(x/2)^2+1}\overset{(1)}{=} \dfrac{1}{4}\,\int \,\dfrac{2\,dt}{t^2+1}=\dfrac{1}{2}\,\int \,\dfrac{dt}{t^2+1}=$
  $=\arctan\,t+C\overset{(2)}{=} \dfrac{1}{2}\,\arctan\,\dfrac{x}{2}+C$

(1) cambio de variable: si $t:=x/2$, $dx=2\,dt$
(2) deshaciendo el cambio de variable

I.b)
La función del integrando, $x\,e^x$, es el producto de dos funciones de distinta naturaleza, por lo que emplearemos el método de integración por partes: $$\int\,u\,dv = u\,v-\int\,v\,du$$ Designando $u:=x$, con lo cual $dx=du$, y, $e^x\,dx=dv$ y por tanto $v=\int\,e^x\,dx=e^x$. Así, podemos escribir $$\displaystyle \int\,x\,e^x\,dx=x\,e^x-\int\,e^x\,dx$$ e integrando fácilmente el segundo término del segundo miembro, encontramos finalmente $$\displaystyle \int\,x\,e^x\,dx=x\,e^x-e^x+C=e^x\,(x-1)+C$$

II) Mediante un sencillo cambio de variable, $t:=2x-5$ ( y por tanto $dx=\dfrac{1}{2}\,dt$ ), teniendo en cuenta la integral indefinida inmediata $\int\,t^n\,dt=\dfrac{1}{n+1}\,t^{n+1}+C$, vemos que una primitiva de $f(x)=(2x-5)^5$ es $F(x)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{6}\,(2x-5)^6$, luego por la regla de Barrow, $\displaystyle \int_{-1}^{1}\,(2x-5)^5\,dx=F(1)-F(-1)=\dfrac{1}{12}\,\left( (2\cdot 1-3)^6-(2\cdot (-1)-3)^6\right)=$
  $=\dfrac{1}{12}\,(1-5^6)=-1302$
$\square$

Aplicaciones del teorema de la probabilidad total y del teorema de Bayes

ENUNCIADO. En un IES, el $40\,\%$ del alumnado son chicas. El $60\,\%$ de los chicos tiene pendiente alguna asignatura del curso anterior, y el $60\,\%$ de las chicas no tiene ninguna asignatura pendiente del curso anterior. Se escoge una persona al azar entre el alumnado. Se pide:
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que la persona elegida tenga pendiente alguna asignatura del curso anterior ?
b) Si se sabe que la persona elegida no tiene pendiente ninguna asignatura del curso anterior, ¿ cuál es la probabilidad de que se a chico ?

SOLUCIÓN. Referiéndonos a la persona que debemos escoger al azar, denotemos por: $A$ al suceso "ser chico", por $B$ al suceso ser chica, y por $S$ al suceso "tener alguna asignatura pendiente del curso anterior".

Los datos del problema son los siguientes:
  i) $P(B)=0,4$, de lo cual se deduce fácilmente que
      $P(A)=P(\bar{B})=1-P(A)=1-0,4=0,6$
  ii) $P(\bar{S}|B)=0,6$ y, por tanto, $P(S|B)=1-P(\bar{S}|B)=1-0,6=0,4$
  iii) $P(S|A)=0,6$

a) Por el teorema de la probabilidad total,
$P(S)=P(S|A)\,P(A)+P(S|B)\,P(B)$
  $=0,6 \cdot 0,6 +0,4 \cdot 0,4$
  $=0,36+0,16$
  $=0,52$

b)
Por el teorema de Bayes
$P(A|\bar{S})=\dfrac{P(\bar{S|A})\,P(A)}{P(\bar{S})}$
  $\overset{(1,2)}{=}\dfrac{P(\bar{S}|A)\,P(A)}{P(\bar{S}|A)\,P(A)+P(\bar{S}|B)\,P(B)}=\dfrac{0,6\cdot 0,4}{0,6\cdot 0,4 + 0,6\cdot 0,4 }=\dfrac{0,24}{0,48}=0,5$


Aclaraciones:
(1) aplicando, otra vez, el teorema de la probabilidad total
(2) $P(\bar{S}|A)=1-P(S|A)=1-0,6=0,4$

$\square$

Probabilidad de sucesos condicionados

ENUNCIADO. En una experiencia aleatoria, y dados dos sucesos $A$ y $B$ asociados a la misma, se sabe que $P(\bar{A}|B)=0,25$, $P(B)=0,3$ y $P(A \cup B)=0,4$, calcular las siguientes probabilidades:
a) $P(A|B)$
b) $(A|\bar{B})$

SOLUCIÓN.
a) $P(\bar{A}|B)\overset{\text{prob. condicionada}}{=}\dfrac{P(\bar{A}\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(B)-P(A \cap B)}{P(B)}=1-\dfrac{P(A \cap B}{P(B)}$
    $=1-P(A|B)$
y poniendo los datos del problema encontramos $$P(\bar{A}|B)=1-0,25=0,75$$

b)
$P(A|\bar{B})\overset{\text{prob. condicionada}}{=}\dfrac{P(A\cap \bar{B})}{P(\bar{B})}=\dfrac{P(A)-P(A\cap B)}{1-P(B)}\overset{(1)}{=}$
    $=\dfrac{P(A)-\left(P(A)+P(B)-P(A \cup B)\right)}{1-P(B)}=\dfrac{P(A\cup B)-P(B)}{1-P(B)}$
así que, poniendo los datos, encontramos $$P(A|\bar{B})=\dfrac{0,4-0,3}{1-0,3}=\dfrac{0,1}{0,7}=\dfrac{1}{7}\approx 0,1429$$


Aclaraciones:
(1) $P(A \cup B) \overset{\text{fórmula de inclusión-exclusión}}{=} P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$\square$

¿ Cómo averiguar si dos sucesos son independientes ?

ENUNCIADO. Dada una cierta experiencia aleatoria, se consideran dos sucesos, $A$ y $B$. Y sabemos que: i) $P(A)=0,3$, ii) $P(A \cup B)= 0,4$, y iii) $P(B|A)=0,2$. ¿ Son $A$ y $B$ independientes ?

SOLUCIÓN. Para que $A$ y $B$ sean independientes, deberá cumplirse que $P(B)=P(B|A)$. Veamos pues si se cumple esta condición necesaria.

Por la fórmula de inclusión-exclusión, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(B\cap A) \quad \quad (1)$; ahora bien, por la definición de probabilidad condicionada, $P(B \cap A)= P(B|A)\cdot P(A)$, y, con los datos del problema, encontramos que $P(B\cap A)=0,2\cdot 0,3=0,06$. Entonces, de (1), $P(B)+0,3-0,06=0,4 \Rightarrow P(B)=0,106 \neq P(B|A)$, luego $A$ y $B$ no son independientes.   $\square$

Aplicando el principio del palomar

ENUNCIADO. Tres personas se encuentran en la planta baja de un edificio de $2$ plantas, dispuestas a montarse en el ascensor. ¿ Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos de ellas se bajen en la misma planta ?

SOLUCIÓN. Por el principio del palomar ( o de las cajas de Dirichlet ), la probabilidad pedida es $1$, puesto que al haber más personas que plantas, es seguro que el destino de al menos dos de ellas será el mismo.

-oOo-
Visto también de otro modo: la probabilidad de que cada una de las tres se baje en una planta distinta a la que eligen las otras dos es $0$, pues sólo hay $2$ plantas, luego la probabilidad del suceso contrario, esto es la probabilidad de que al menos dos de ellas se bajen en la misma planta, es $1$   $\square$

Probabilidad de que tres personas se bajen en la misma planta de un edificio de tres plantas

ENUNCIADO. Tres personas se encuentran en la planta baja de un edificio de tres plantas, dispuestas a montarse en el ascensor. ¿ Cuál es la probabilidad de que las tres se bajen juntos en alguna de las plantas ?

SOLUCIÓN. Considerando las $3$ posibles plantas en las que se pueden bajar juntos, hay tres casos favorable al suceso pedido; por otra parte, hay $\text{VR}_{3,3}=3^3$ posibilidades en total. Así pues, por la regla de Laplace, la probabilidad pedida es $\dfrac{3}{3^3}=\dfrac{1}{9}\approx 0,1111$   $\square$

Probabilidad de coincidir a la hora de elegir la planta de destino en un ascensor

ENUNCIADO. Tres personas se encuentran en la planta baja de un edificio que tiene $3$ pisos. Entran las tres en el ascensor, dispuestas a subir cada una hasta alguna de las tres plantas del edificio. ¿ Cuál es la probabilidad de que al menos dos coincidan en la elección de la planta de destino ?

SOLUCIÓN. Una persona cualquiera de las tres tiene $3$ posibles elecciones de planta entre un total de $3$ plantas; otra ( de las dos restantes ) podrá elegir entre $3-1$ plantas ( descartando la planta elegida por la primera ) entre un total de $3$ plantas, y la tercera persona, sólo podra elegir $3-2$ plantas ( al tener que descartar las dos ya elegidas por sus dos compañeras ). Entonces, por la regla de Laplace y haciendo uso de la probabilidad compuesta, vemos que la probabilidad de que no haya ninguna coincidencia es igual a $\dfrac{3}{3}\cdot \dfrac{3-1}{3}\cdot \dfrac{3-2}{3}$, esto es, $\dfrac{2}{9}$, luego la probabilidad del suceso contrario ( que al menos dos de ellas coincidan en la elección de planta ) es igual a $1-\dfrac{2}{9}$, esto es, $\dfrac{7}{9} \approx 0,7778$   $\square$