¿ Cómo averiguar si dos sucesos son independientes ?

ENUNCIADO. Dada una cierta experiencia aleatoria, se consideran dos sucesos, $A$ y $B$. Y sabemos que: i) $P(A)=0,3$, ii) $P(A \cup B)= 0,4$, y iii) $P(B|A)=0,2$. ¿ Son $A$ y $B$ independientes ?

SOLUCIÓN. Para que $A$ y $B$ sean independientes, deberá cumplirse que $P(B)=P(B|A)$. Veamos pues si se cumple esta condición necesaria.

Por la fórmula de inclusión-exclusión, $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(B\cap A) \quad \quad (1)$; ahora bien, por la definición de probabilidad condicionada, $P(B \cap A)= P(B|A)\cdot P(A)$, y, con los datos del problema, encontramos que $P(B\cap A)=0,2\cdot 0,3=0,06$. Entonces, de (1), $P(B)+0,3-0,06=0,4 \Rightarrow P(B)=0,106 \neq P(B|A)$, luego $A$ y $B$ no son independientes.   $\square$