Probabilidad de sucesos condicionados

ENUNCIADO. En una experiencia aleatoria, y dados dos sucesos $A$ y $B$ asociados a la misma, se sabe que $P(\bar{A}|B)=0,25$, $P(B)=0,3$ y $P(A \cup B)=0,4$, calcular las siguientes probabilidades:
a) $P(A|B)$
b) $(A|\bar{B})$

SOLUCIÓN.
a) $P(\bar{A}|B)\overset{\text{prob. condicionada}}{=}\dfrac{P(\bar{A}\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(B)-P(A \cap B)}{P(B)}=1-\dfrac{P(A \cap B}{P(B)}$
    $=1-P(A|B)$
y poniendo los datos del problema encontramos $$P(\bar{A}|B)=1-0,25=0,75$$

b)
$P(A|\bar{B})\overset{\text{prob. condicionada}}{=}\dfrac{P(A\cap \bar{B})}{P(\bar{B})}=\dfrac{P(A)-P(A\cap B)}{1-P(B)}\overset{(1)}{=}$
    $=\dfrac{P(A)-\left(P(A)+P(B)-P(A \cup B)\right)}{1-P(B)}=\dfrac{P(A\cup B)-P(B)}{1-P(B)}$
así que, poniendo los datos, encontramos $$P(A|\bar{B})=\dfrac{0,4-0,3}{1-0,3}=\dfrac{0,1}{0,7}=\dfrac{1}{7}\approx 0,1429$$


Aclaraciones:
(1) $P(A \cup B) \overset{\text{fórmula de inclusión-exclusión}}{=} P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

$\square$